線性代數書評

全文pdf下載

博士班 蔣俊岳

關於線性代數的書主要分為兩類：一類是標準教科書，適合自修考試用；另一類是研究用書；這一類還可以再細分為兩類：一類是基礎方面，以矩陣分析為主，另一類是應用方面，就是應用線性代數或矩陣計算。有關於這幾類的聖經相信大家都聽過很多，我這邊僅列舉一些我聽過看過的，希望不要誤了大家。

首先，先談談我對線性代數的看法。因為本人的代數只停留在大學階段，可能無法對整個線性代數的「硬體結構」做一個很透徹的看法。就我的認知，線性代數就是探討一個線性算子在一個有限維度的向量空間上的行為（當然需要定義一些術語供我們使用：定義rank，可以知道這個算子的份量有多少，此處所謂的份量是指這個算子能有多少獨立的基底來張成它的值域；透過內積，就有了正交的代數意義，進而在這空間上可以分析算子的譜等等）。或許大家認為線性代數很容易，的確，它不需要分析的基礎，可以獨立於微積分完成學習。但線性代數的題目卻也不是說一眼就能知道答案的，譬如：若AB = A + B，證明AB = BA ; 若A, B ≧ 0，則 ，這些看起來容易，實際去解卻需要一些觀念才有辦法解釋清楚。底下列了一些我讀過的書目給大家參考：

標準教科書

• Matrix Theory, by Fuzhen Zhang, Springer, 1999.
  顧名思義，這本書主要是以矩陣為主角來描述線性代數的理論。在這本書中有許多有趣的結果，在其他書是不容易找到的。你能想像Normal的等價條件高達30個嗎？我們都知道任意一個矩陣都有它唯一的Jordan form，你能真正構造出可逆矩陣P，使得P ^-1 AP = J嗎？諸如此類，這本書就是這麼暴力地將這些結果呈現在你面前，而且我發覺它有許多習題是清大研究所考試題庫，譬如證明Hilbert matrix( )是正定矩陣等等，你會發覺，原來有這麼多有趣的結果。（p.s.此書清大館藏為失蹤，所以要到交大去借才有）
• Linear Algebra, by Friedberg, Insel and Spence 4th, Prentice Hall, 2003.
  這本書相信數學系的同學都有聽過，可能在修線性代數的時候也是用它作為標準教科書。全書以算子為著眼點，清楚地將整個線性代數的重點：向量空間、線性算子與其表示法、內積空間、對角化以及標準型、行列式，將這五大類做一個透徹的整理。這本書在Jordanform有很完整的證明，完全用算子不變子空間，就很清楚得到一個線性算子在有限維的向量空間有唯一的Jordan form。你可以比較這本書跟(a)不同之處：它跟(a)恰可互補。譬如你要證明rank (A + B) ≦ rank(A) + rank(B)，用算子的定義可以很清楚地理解，但如果是用矩陣的定義就不是那麼明顯了；最小多項式的根如果都是單根，那算子（或矩陣）就可以對角化，如果你知道根的冪次代表它對應不變子空間上Jordan最大的階數（用矩陣來想），那這個結論就會很明顯，諸如此類。總之這本書涵蓋了絕大部份線代的內容，且習題具代表性，不失為初學或自修者一本好書。
• Linear Algebra, by Hoffman, Kenneth, 2e, Englewood Cliffs, 1971.
  這也是一本聖經級的線性代數用書，感覺蠻偏代數的，我沒有念多少，只是看它的rational form跟cyclic decomposition，念代數的人應該會對這本很有感覺吧。

研究用書

接下來的書在其領域都蠻top的，我也沒能力著墨太多，僅把它們列出來供大家參考：

• 矩陣分析方面：
  • The Theory of Matrices Vol. I, II, by Gantmacher Chelsea, 1959.
  • Matrix Analysis, by Horn and Johnson, Cambridge, 1985.
  • Topics in Matrix Analysis, by Horn and Johnson, Cambridge, 2nd 1991.
  • The theory of matrices with applications, by Peter Lancaster, MironTismenetsky, Academic Press, 2nd 1990.
• 應用線性代數（矩陣計算）：
  • Applied Numerical Linear Algebra by James W. Demmel, SIAM Publications, 1996
  • Matrix Computations by Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Johns Hopkins, 3rd 1996
  • Numerical Linear Algebra by L. N. Trefethen and D. Bau, SIAM Publications, 1997