數學史速寫(一)...文本轉換中...

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08級 洪偉

序篇——為什麼要寫數學史？

數學史關心的問題是「數學究竟是如何發展的」。從算數、量地板開始，直 到畢達哥拉斯開始以數衡量整個世界、牛頓以數學預測物理，數學逐漸普遍被人們認為是科學之母。

數學是一門累積性很強的學科，於科學發展史中，常常強調 典範轉移 ¹ 的概念：牛頓挑戰亞里斯多德、愛因斯坦質疑牛頓。但在數學中，雖曾有過三次被稱作 數學危機 的狀況，但未曾有過所謂革命的場景，那些危機，則化為對內在的充實和基礎的鞏固。史 坦梅茲說 ² ：「數學是最精確的科學， […] 之所以如此，是因為數學不試圖得出絕對的結論。所有的數學真理都是相對的，有條件的。」數 學的典範只有一個，就是理性自己。

數學史是一門 文化史 。所有的數學，都是來自人為的創造，因此才會有西瓦定理、牛頓法之說，而非上帝定理、耶和華法。但 對許多人來說，數學依然有它的神秘色彩，有人認為數學是唯一的真理，即使不是，但至少是最接近真理的科學，這個神祕是來自 形上學 的。

無論如何，數學始終以最接近基礎的科學自居，而讓一切科學家和他們的大樓建立在一個穩固的地基之上，就 是數學家的工作。

它到今天的一切，都像是被逐漸堆高的大廈。我們就像是身在最高層的貴族，使用最先進的數學。而 造就了今天數學的龐大的，是它同樣龐大的過去。

所有學科都是許多人的努力共同建立出來。而數學家，更象徵了他們身處的時代中最純粹的理性。他 們的一切理想，是自然科學中最閃耀的光環，最高貴的女王 ³ 。數學是人類思想中的燈塔，它標示著人類精神對真理的誓死追求。人們不斷在其中對自己提出問題，試 圖解決問題，而絕不輕易妥協。它隨著哲學、社會、科學與文化而生，依循著它們，卻將自己抽離到一個所有現實都無法觸及的高度。

因為篇幅有限，我只能概括的介紹，並不能做太多的演繹，對定理也無法為各位一一證明。我 將著眼於整個數學大發展方向與它的精神，與那些重要的數學家。所謂的重要，無關於他的工作成就，而是看他對後世的影響或是歷史上的意義而言。

「將任何學科和它的歷史割裂開來，我確信，沒有哪一種科目比數學的損失更大。」－－格 雷舍⁴。

一、數的創造——遠古數學時代

最早的數的創造約是在西元前兩、三千年的事。那時文字已經發明，而文字就帶著數字也傳了下來，還 有那些後來我們稱之為數學的成就。

每一個數學的起源，都代表了一種數的 表示方式 、 進位法 、 計算法則 、 應用範疇 、以及 因應應用方式所產生的數學 。數學在世界各地就如此分頭進行各自的發展，也隨著資訊傳遞方式的發達互相影響著。

在這裡，因為要從 希臘 開始，我只從 埃及 與 美索不達米亞 來談數學的起源。

埃及

埃及數字的進位法是十進位，而對埃及人來說，最主要的計算方法是加法。我 們之所以能夠對古埃及數學有所了解，主要是依據了兩部紙草書－－《 萊因德紙草書 》與《 莫斯科紙草書 》。在這兩部紙草書中，我們看到埃及人是如何以 加法程序 來討論所有的數學問題。

圖1：莫斯科紙草書(Moscow Papyrus)

減法並不是問題，就是加法的倒轉。乘法是逐次加倍的程序，例如 51 乘上 17 ，就是先將 51 加倍成為 102 ，再加倍成為 204 ，再加倍成 408 ，再加倍成 816 ，這樣就是 51 的 16 倍，再加上 51 就是答案、 867 。而除法就是乘法的倒轉，即將除數逐次加倍來取代被除數。

我猜想這個狀況和古埃及數字的表示法有關。他們不知道位值 (place value) 制，所謂未值制就是視數字的所在位數，來決定數字的值，而是找了符號代替十、百、千、萬，然 後畫幾個該符號，就是代表該數的幾倍。

圖2：古埃及與古巴比倫的數字，出處：李文林，《數學史教程》。

古埃及並沒有小數點的概念，卻是以 分數 來處理「不足一的數」的問題，以一種令人無法恭維的繁複建立起的數系和運算方法：在文獻中，埃 及人在數字的頭上加上一個橢圓來表示原數字的 倒數 ，為一個 單位分數 。而利用某種單位分數表示法，再加上先前所討論的乘除法方法，古 埃及人就可以做分數的四則運算 ⁵ 了，儘管方法非常複雜。

而在《萊茵德紙草書》中，也有相當於 一元一次方程式 的問題，這也許是最早的代數問題，雖然古埃及的解法和現在的普遍解法並不同，而 是利用類次 試位法 (method of false position) 的方式進行解題。如今於程式設計中，仍常運用這種方法解決一元一次方程式問題。

幾何學 則是餽贈於那條氾濫成性的大河。

希羅多德在《 歷史 》中寫道：「假如河水沖毀了一個人所得的任何一部分土地，國王 Sesostris 就會派人去調查，並通過測量來確定損失地段的確切面積， […] 我以為，正是由於這類活動，埃及人首先懂得了幾何學，後來又把他傳給了希臘人。」在希臘語中，幾 何學寫作 γεωμετρία (geometria) ， geo 是地面的意思， metria 則是測量。

埃及的幾何學有許多令人驚艷的成就：除了 正方形 、 長方形 、 等腰梯型 ( 以將他拼湊為矩形的方法 ) 、 圓周率 是 。他們最偉大的成就是給出了 平截頭方錐 體積的精確公式：於莫斯科紙草書中： ，其中， 是高， 、 是底面正方形的邊長 ( 如圖 3) ，數學史家貝爾 (E. T. Bell) 稱此為最「偉大的埃及金字塔 ( 英文中的棱椎體與金字塔皆為 pyramid) 。」

圖3：平截頭方錐體圖示

但埃及數學的發展，自《莫斯科紙草書》與《萊茵德紙草書》之後就陷入了發展的困境，這兩部書內的數學，「 就像祖傳家寶一樣世代相傳，在數千年漫長的歲月中很少變化。」 ⁶ 賈德戴蒙則在《槍砲、病菌與鋼鐵》一書中寫道這是埃及文化產生的一種「古老帝國的僵化」；羅素也認為「 這一時期以後，埃及文明就變得越來越僵化了，並且宗教上的保守主義使得進步成為不可能。」

但埃及卻對當時的其它地區的文化帶來了深遠的影響，也許我可以這麼形容：埃及文化就如同 地下水源 ，所有挖掘的人都可以從中得到些什麼，但他自己卻如同靜止了一般。

希臘人就是所有去挖掘的人中最飢渴的一群。

美索不達米亞

此地為數學的另一個重要起源地，在成就上，他甚至超越了埃及。但這裡也許也像希臘一樣，受 了一些埃及影響，例如對於幾何、數字的想法等等，但這點我並不確定 ⁷ 。

美索不達米亞 ( 或稱巴比倫 ) 使用的是一種稱之為 楔形文字 的文字系統，並將文字刻在泥板上。他們使用 六十進位 的表述法：說是六十進位 ⁸ ，精確來說，應該是「十、六十進位法」。因為從一至五十九的所有數，都是由一個十位數字 ( 一到五之間，或是沒有十位數字 ) 與一個個位數字 ( 一到九之間，或是沒有個位數字 ) 所組成。

巴比倫人對有理數的表述，是利用了類似 小數 的表達方式。在計算上，這就比埃及人的做法要精簡高明。但在這種表述法，卻產生了一種在 記錄上的問題 ：例如： 53;5;29 就可以表示 ；不過同時，也可以表示 。又因為不管是埃及人或是巴比倫人，仍 然只能考慮大於零的數，也沒有對於「零」這個數下定義。他又同時可以表示 或是 。

不過我以為，對於一個年輕的文明而言，這種問題的產生是可以原諒的，就 像巴比倫人與埃及人同樣對於近似值與真確值混淆不清，而給出許多似是而非的公式，但 這也只是象徵著數學水平仍處在較低或是不夠成熟 ( 依現代的眼光檢視的話 ) 的狀態。

在讀數學史的過程中，對於這些錯誤，或是那些偉大的定理，我們應該以一種更加融入的方式去理解，而 非只要得到一些「是」或「非」的判斷，或是蔑視或者尊崇的態度，這對於讀數學史來說，這是毫無意義的。

我們應該有這樣的企圖心：當在讀到偉大的定理時，也間接瞭解那個時代背景的哲學，並 試圖因著那種思路前進；又或是，對於那些錯誤，思考原因是來自怎樣的錯誤思路或是錯覺，以進一步了解那個時代普遍的思考困境。

如此，才能說是對當代真正有所了解，這種了解不全然是數學的，而是歷史上的、哲學上的，並 試圖從歷史中得到一些關於現在的隱晦的答案，這是我們讀史的極重要目的。羅素曾這麼主張：「 當一個有智慧的人表現出來一種在我們看來顯然是荒謬的觀點的時候，我們不應該努力去證明這種觀點多少總是真的，而 是應該努力去理解它何以竟會看起來似乎是真的。」我認為這種態度，在我們讀數學史時，同樣是重要的。

巴比倫人試著逼近 ，而得到 1;24;51;10 ，相當於 1.414213 的近似值。他們的作法 ( 巴比倫開方法 ) 值得一提：「假設 ，並設 是首次近似；由方程 求出第二近似 ，再取 與 的算術平均數為 為下一近似。」如果上列程序無限進行，將無限逼近至 。巴比倫人已經發展出不少這種成熟的 程序化 計算方式。

在除法方面，他們不使用埃及的「倒加倍法」，而是將 視為 ，再由查表得到的值。

現有的 300 多塊數學泥板中，就有 200 多塊是「表」，包括 乘法表 、 倒數表 、 平方表 、 立方表 、 平方根表 、 立方根表 、 指數對數表 等等。利用這些用表和 線性內插法 ，巴比倫人可以做許多的數學估計，這作法我們在高中也是學過的。而在文獻中可見，巴 比倫人對這種作法顯得駕輕就熟。

在代數方面，巴比倫人已經可以處理如 的 一元二次方程 的問題，並給出類似 的 公式解 。也利用了代數變換的做法，解決了一些三次方程的問題。在幾何方面，巴比倫人掌握了三角形、梯形、矩 形等平面圖形的面積公式，也了解了棱柱、平截頭方錐等一些立體圖型的體積公式。甚至，他們首次利用 相似形 的概念來解題。而他們利用 來作為 的近似值，和埃及人也相差不遠。

到此，巴比倫數學和古埃及數學我們很快地瀏覽了一遍 ⁹ 。我們可以發現古時代的數學，雖然仍是以實用為主，但也多少帶有一些理論水平。

我想，這是數學的 自體催生現象 造成的：在探究某一問題的同時，我們可以發現某些 定律 ，而這些定律，又恰好可以利用在其他的問題上，或是創造了一些新的問題，周而復始。於是逐漸的，實 用數學就累積的相當可觀，累積到了某一程度，就會形成同樣程度的紊亂，必須進行整理與系統化，這是文明的必然進程。而整理數學的工作，幾 乎由希臘人做完了。

希臘

所謂「希臘」，在地理上包含了希臘半島、色雷斯地區、小亞細亞西部、義大利半島東南沿海、愛 琴海諸島這一塊地區；在文化上，這些使用希臘語的民族，都是希臘人，但在巴比倫、馬其頓統一諸城邦以前，希臘從來就不是一個統一的國家，而 是被城邦瓜分的一個破碎的土地。

圖4：古希臘地圖，但希臘其實仍包括義大利東南岸；出處：國立台灣大學網路教學課程第六講。

但希臘即使在被統一以前，就以 希臘人 自居，這是基於他們相同的語言和類似的文化；並且，希臘人除了自己的城邦必須針鋒相對，仍 須面對身旁強大的敵人，波斯。

希臘為於一塊先天條件不適於農業的地區，水源不足、農業不盛、物產不豐，因此貿易對希臘來說是極重要的。> 這些希臘商人往返於埃及、美索不達米亞兩大河谷之間，商人或是商船上的學者便帶回了那裡的數學知識，於 是希臘就有了比埃及與巴比倫都要加倍豐沛的數學材料。而希臘人的唯理主義和奴隸制以及商業盛行的環境正是發展純粹理論的溫床，讓 數學逐漸從 實用主義 的跑道上脫軌，正式進入 理論主義 的行列。

大家所公認的第一個希臘數學家是米利都 ¹⁰ 的 泰勒斯 (Thales of Miletus) ，他曾經預測了一次日全蝕 ¹¹ 。 歐多漠思 (Eudemus of Rhodes ，公元前 320 年 ) 於《 幾何學史 》中這麼寫道：「 [ 泰勒斯 ] 首先來到埃及，然後將幾何研究引進希臘，他本人發現了許多命題，並 指導學生研究那些可以推出其他命題的基本原理」，並且還說，泰勒斯曾證明了下列四條定理：

1. 圓的直徑將圓分為兩個相等的部分；

2. 等腰三角形兩底角相等；

3. 兩相交直線形成的對頂角相等；

4. 如果一個三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應角、邊相等，那麼兩三角形全等。

而他早年經商發了大財，還用到現代所謂期貨投資的觀念 ¹² 。但因為泰勒斯留下來的資料實在太少，我們對這個神祕有趣的人物知道的並不多。我 們還知道泰勒斯是希臘的一個哲學家，他認為萬物的本源是 水 。

希臘的數學，常常是因應哲學而生的。而哲學的目的即在於建立高度抽象而恆久不變的真理，影 響了數學對自己的進一步要求。事實上，數學許多時候並不是獨立發展的：埃及因建築、測量的需要而研究 幾何學 ；印度的數學是沿著 宗教 的腳步；中國因為建築、曆法、風水的需求建立 數術 ；近世則為了解決物理問題研究 極限 和 微分方程 問題。

總是依循著一定的脈絡：提出問題，思考解答，再經由我所謂自體催生的過程達到一定的稠密，再 由稠密而系統化。然後許多系統間彼此影響，提出更多的問題。人類的理想，就是將所有系統統一為唯一之終極系統。

這現象也許令上帝失笑，就像小孩努力地拼裝樂高積木。但這顯現出，人類對於美感的追求，也 展現在對真理的追求中。因此，德國數學家 伐爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 說：「一個沒有幾分詩人才能的數學家，決不可能成為一位完全的數學家。」

畢達哥拉斯與第一次數學危機

若要談到對後世數學的影響， 畢達哥拉斯 (Pythagoras of Samos) 要比泰勒斯重要得多了。畢達哥拉斯出身於薩摩斯島，曾遊歷埃及與巴比倫，回 希臘後定居於義大利東南部的克洛托內 (Crotone) ，並在這裡成立了所謂的 畢達哥拉斯學派 。畢達哥拉斯學派具有非常濃厚的宗教性質，因此有人直接稱說是 畢達哥拉斯教派 。

畢達哥拉斯的主要哲學理念是：「 萬物都是數 」，主張萬物皆能由數表示，雖然有些是非常奇怪的，例如他認為天鵝的形狀像是 2 。這想法，極可能是由於他發現了 音樂 與數學的相關性所造成的：他發覺弦的長度的比例 ¹³ 能使得音律 調和 ¹⁴ ；另外，他們發現了 三角數 ¹⁵ 、 四角數 ¹⁶ 、 完全數 ( 包括 過剩數 與 不足數 ) ¹⁷ ；他們還發現了三維空間中的五種 正多面體 （也僅可能有這五種 ) ，他們稱之為 宇宙形 。就是這些成就，使得畢達哥拉斯學派將「神是以數的和諧創造世界」作為教義，但 也為畢達哥拉斯學派的自我毀滅作了一個伏筆，一切的問題，都從 畢氏定理 ¹⁸ 開始。畢氏定理是我們熟知的畢達哥拉斯的成就，即使他並沒有留下關於此定理的證明，但 人們顯然相信是畢式 ( 或是他的門生 ) 發現並證明了這個定理。

畢達哥拉斯是這樣認為的：所有量，都可以表示成兩個整數之比，在幾何上的意義相當於說，對 於兩個任意給定的線段長，都可以找到另一第三線段，其長度可以將兩直線以整數度量 ( 這兩條線段之長，希臘人稱為 可公度量 ) 。這在畢達哥拉斯的哲學中是非常重要的假設，但卻因 是 無理數 的證明 ¹⁹ ，卻幾乎將他的所有哲學予以否定，包括數學中，他利用可公度量證明的那些幾何定理 ²⁰ 。

因此畢達哥拉斯的門生 Hippasus 在洩漏「正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的」這一個 祕密 以後，即被視為異教徒謀殺或者放逐了。在柏拉圖的記載中，這些「怪物」 ( 無理數 ) 深深地困惑著古希臘的數學家。

畢達哥拉斯學派約活躍在公元前 550 年至 500 年，因為政治因素 ²¹ 的衝擊而解體，畢達哥拉斯本人也逃離克洛托內，不久被殺。但我們不可忽視畢達哥拉斯所帶來的巨大影響。

關於畢達哥拉斯學派的進一步描述，我將引用羅素於《西方哲學史》的一段話，很具代表性意義：

「 [Theory] 這個字原來是奧菲斯教派 ²² 的一個字，康福德 ²³ 解釋為『熱情的動人的沉思』。他說，在這種狀態之中『觀察者與受苦難的上帝合而為一 ²⁴ 』，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活；對於畢達哥拉斯，這種『熱情的動人的沉思』乃是理智上的，而 結果是得出數學的知識。這樣，通過了畢達哥拉斯主義，『理論』就逐漸地獲得了它的近代意義；而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說，一 直保存著一種狂醉式的啟示的成份。 […] 彷彿 經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正像音樂家一樣，才 是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。」

於是人們開始以數學認識世界，而實際地將數學自實用抽離至更高的抽象與普遍中，人 們開始試圖以更高的抽象 理論 來考察對象 ( 這對柏拉圖產生了重大的影響 ) 。羅素對畢達哥拉斯的影響力非常推崇，卻指責他「一部分是由於他的緣故，數 學對哲學的影響一直都是既深刻而不幸的」。

再次提醒讀者，我們不可輕忽畢達哥拉斯的影響力。數學作為形而上的科學指導原則，至今仍屹立不搖，康 德在純粹理性批判中，也將科學最尊貴的地位賦予數學。

他影響的不只是歐幾里得等數學家，而是象徵著讓數學神祕，而類乎教義的不可蔑視的真理性。或許，也 可以這麼說，為了追求這種真理性，畢達哥拉斯給了數學一種期許，就是讓自己成為恆久真理，而一切卻又必須根據理性。

雅典時期與兩大難題

波希戰爭以後，小小的希臘打敗了大大的波斯，領導者雅典就成為了希臘民主政治、經濟、文化的中心，此後，> 希臘數學學派林立：

伊利亞(Eles) 學派 ：代表人物是 芝諾 (Zeno) ，此人也是個哲學家，他主張萬物的本源是土。但最重要的是在於此人的 四個無限性悖論 ，在後面將補述。

智者(Sophism) 學派 ：代表人物是 Hippias 、 Antiphon 、 Bryson 等，均以雄辯著稱，後來稱「詭辯」則是因為他們的辯論原則並不遵守後來亞里斯多德提出的 形式邏輯 原則，但我認為不可這麼理解，應該是說，智者學派影響了亞里斯多德，遂而建立形式邏輯原則，才比較恰當。

雅典學派 ：即 柏拉圖 學派，柏拉圖曾師從畢達哥拉斯學派的學者，約公元前 387 年在雅典創辦學院，教授數學與哲學。之後，著名數學家 歐多克斯 (Eudoxus) 率徒加入雅典學院。而此學院延續了有九百餘年之久，直到查士丁尼下令關閉所有的希臘學校。

呂圓學派 ：即 亞里斯多德 學派，亞里斯多德是柏拉圖的學生，於公元前 335 年於雅典呂圓建立學派。學生中有一位就是寫《幾何學史》的 歐多漠斯 ，他還撰有算數與天文學的歷史。亞里斯多德學派除了教授哲學與數學，還教物理與其他科學。

柏拉圖和亞里斯多德在數學中很重要的貢獻，是將一些前人的成就和生平記錄了下來並加以詮釋、整理，後 人可以如此清楚地得知數學早期的發展，須大部份歸功於此。

亞里斯多德於數學中最偉大的創造是 邏輯學 。 ²⁵

在柏拉圖《理想國》中曾有如此的記載，可作為邏輯學的基本發想：「你們知道幾何、算數和有關科學的學生，> 在他們的各科分支裡，假定奇數、偶數、圖形以及三種類型的角 ²⁶ 等等是已知的；這些是他們的假設，是大家認為他們以及所有人都知道的事，因 而認為是無需向自己或別人交代的；但他們是從這些事實出發的，並以前後一貫的方式往下推，直到得出結論。」

裡面所說「前後一貫的方式」，就是 邏輯 。 logic ，字源是希臘文的 logos ， logos 的概念並不只是在於抽象理論的推演，而是一種像是河流的過程，自上而下的流動，不可違逆 ²⁷ 。有的古希臘哲學家 ²⁸ ，也將 logos 的範疇應用在實際的物質世界中，視之為永恆的活火。我粗淺的以為， logos 作中文最好的翻譯應該是 道 ²⁹ ，所以 logic 其實就是 道理 。但譯作「道理」便失去其學術內涵了。

這套亞里斯多德邏輯學被奉行兩千多年，直到十九世紀才被數理邏輯所取代。其中的語法定義與結構，也 影響了康德的思想，康德在《純粹理性批判》第二版的前言中，直接承認自己是以「建立類似亞里斯多德的那條可靠的道路」為目標。

亞里斯多德將 公設 (Postulate ，為某一門科學所接受的第一原則 ) 與 公理 (Common notion ，一切科學公有的真理 ) 區分開來，然後建立了 矛盾律 與 排中律 ，並系統化數學的推理規律。在歐幾里德的《原本》之中，將這種精神發揮得淋漓盡致。

這一時期，留下了兩個當時無法解答的重要問題：一、 三大幾何問題 ；二、 無限概念的悖論問題 。三大幾何問題一直迷惑人類到十九世紀，而無限問題要到柯西 嚴格化分析方法 才能說是完全解決。如果想到有的數學問題可以想上兩千年，那我們作業寫不出來也不會太著急了。

古希臘三大幾何問題是： 化圓為方 ³⁰ 、 倍立方體 ³¹ 、 三等分角 ³² 。這些問題之所以難，是因為希臘人嚴格守幾何作圖工具原則：無刻度 直尺 與 圓規 。到了 1837 年，法國數學家汪澤爾 (P. L. Wantzel) 才在代數方程論基礎上證明了倍立方和三等分角問題都是無解的；而 1882 年德國數學家林德曼 (C. L. F. Lindemann) 則證明了 π 的超越性，因此也是不可能做的。

但是並不能論斷希臘人是白忙一場，在解決三大幾何問題的過程中，他們也因此獲得了其他關於幾何的新發現：> 安提豐在討論化圓為方時，發明了 窮竭法 ³³ ；希波克拉底討論倍立方體問題時提出的 雙重比例中項方程 ( ) ，導致了 圓錐曲線 的誕生；希比阿斯在試圖解決三等分角的時候，發明了「 割圓曲線 (quadratrix) 」 ( 如圖 5) 。

圖5：割圓曲線。

伊利亞學派的芝諾，作為一位哲學家並不那麼重要，哲學書上介紹他的篇幅往往很小，但 在數學上他卻顯得非常重要。亞里斯多德在《物理學》中，記載了芝諾的四個悖論，其中最重要的是 ³⁴ ：

一、 阿基里斯 (Achilles) ：若烏龜的起跑點領先一段距離，阿基里斯必須先跑到烏龜的出發點，而這段時間裡，烏 龜又向前跑過一段距離了，依此程序無窮類推，阿基里斯永遠追不上烏龜。

二、 飛矢不動 ：飛矢在每一個瞬時之間，都是沒有位移的，因此飛箭在每一個瞬間，都是靜止不動的。

在這我想請讀者以欣賞的角度來讀這兩個悖論：這兩個悖論在何種情形下可能是對的，如 果是以希臘人當年的知識水平，該如何面對這兩個悖論？別急著以後見之明將這一部分跳過，而是以作為沉思者的角度，讓自己無端陷入這樣的難題中。

這兩個悖論，就是第二次數學危機的代表，希臘人雖無法回答這些問題，但這可以視為對無限性的初次探索。對 微積分 的發展，則是一種前瞻性的奠基。

希臘數學黃金時代

公元前 338 年，馬其頓人統治了整個希臘地區，而一直到公元前 30 年，托勒密王國被羅馬消滅之前的這段時間，史稱 希臘數學黃金時代 。此一時代繼承了古希臘時期的維理主義，並在穩固的邏輯學基礎下，對於幾何、代 數問題做出許多重要的研究成果。這一時期的學術中心，自雅典轉移到了 亞歷山大城 ³⁵ ；該城是亞歷山大大帝征服埃及以後，在埃及北部建立的。

亞歷山大在希臘文中的意思是「人類的守護者」，他有著許多神話和傳奇 ³⁶ ，人們甚至相信亞歷山大三世為宙斯之子。但亞歷山大大帝逝世後，帝國瞬間他的手下被瓜分，沒 多久就瓦解了。在一場鬥爭之後，分成了三個 希臘化國家 ，其中定都於亞歷山大城的，是 托勒密王朝 。該王朝通常被認為是埃及的王朝，國王稱作法老。

但我先前已說過，希臘之所以偉大，並不在於疆域，而是因文化始偉大起來。同時，又 因為亞歷山大積極建立一個希臘化帝國 ( 記得他有個老師叫亞里斯多德 ) ，就將「希臘」傳出了希臘地區 ³⁷ 。因此我們不妨稱托勒密王朝統治的是「希臘埃及 ³⁸ 」。

托勒密王朝於公元前 300 年左右，開始興建規模宏偉的亞歷山大博物館、圖書館，提倡學術、羅致人才 ³⁹ 。自此以後，亞歷山大城就成了希臘文化首府，學者雲集。在 這裡先後出現了三個標示著希臘數學顛峰的數學家： 歐幾里得 、 阿基米德 和 阿波羅尼奧斯 。

1 參考孔恩的《科學革命的架構》中，所提出之對於常態科學革命的想法。

2 德國物理學家 Charles Steinmetz 。

3 高斯：「數學是科學的女王，而數論是數學的女王。」

4 James Whitbread Glaisher ，英國數學家。

5 在《萊茵德紙草書》中，埃及人給出了一張表格，表示如何將所有其形為 2/k(k 為所有 5 到 101 的奇數 ) 的分數化為單位分數之和。例如，將 2/5 表示為 1/3 加上 1/15 ，等等，乃至最後一項將 2/101 表示為 1/101 、 1/202 、 1/303 與 1/606 之和。並搭配一種計算方式，使得可以把 7/29 這樣的分數也表示成單位分數之和： 7/29=1/6+1/24+1/58+1/87+1/232 。

6 李文林，《數學史教程》，北京高等教育出版社。

7 《槍砲、病菌與鋼鐵》將這類文化傳播的種類分為「意念 ( 學的是基本概念，再來研發細節 ) 」與「藍本 ( 照單全收，或略加修改後拿來應用 ) 」，因此即使數字的表述法全然不同，仍然有影響的可能。

8 有人說六十進位是因為因應計時而生，但我持反對意見，我認為是因最實際的實用而生，即是計數。因 為先有數實在之數，才會數類似時間的虛在之數，這乃是人的理性趨勢。

9 除了巴比倫的〈普林頓 322 〉泥板。

10 小亞細亞西部的愛奧尼亞地區的一個城市。

11 公元前 585 年的第一次日蝕。

12 亞里斯多德，《政治學》。

13 若為簡單整數比，則可產生合音，如 2:3 為五度和音、 3:4 為四度和音。

14 直到今天，調和中項、調和級數等名詞仍是受到畢氏之影響。

15 1,2,3… 之等差級數，因可排列為三角形，故稱之。

16 1,3,5… 之等差級數。依此類推，還有五角形數、六角形數等等。

17 其因數之和等於本身的數，稱之為完全數；大於本身，稱之為過剩數；小於本身，稱之為不足數。

18 或稱勾股定理，此定理於中國的《周髀算經》中曾提及，因此也有人稱之「商高定理」。

19 假設它的長度是 時。那麼 。如果m 和n 有一個公約數，我們可以把它消去，於是m 和n 必有一個是奇數。現在 ，所以m 是偶數；因此n 就是奇數。假設 ，那麼 ，因此 ，而因此n 便也是偶數，矛盾。－－於歐幾里得《原本》中敘述。

20 見〈黃金時代－歐幾里得〉條。

21 畢達哥拉斯學派傾向貴族制，而後希臘民主力量高漲。

22 Orpheus ，他們相信靈魂的輪迴，以「淨化」作為人生活方式的主要目標。影響了後世的哲學形式，並 以精神沉醉代替肉體的沉醉。此種沉醉是繼承於希臘人對酒神巴庫斯的崇拜下的「激情狀態」的概念。

23 Cornford ，希臘哲學史家。

24 拉丁文的 theoria 的字源是希臘文的 θεωρία ，有沉思之意；而更早的 θεωρός 則是「觀察者」的意思，這個字是由 θέα( 視野 ) 和 ὁράω( 看 ) 拼湊演變而來。

25 他聲稱在他之前，沒有人認真研究過邏輯學，柏拉圖只透露已有人在之前研究過語法學。

26 直角、鈍角、銳角。

27 但也具有其他意思，例如 ratio 的字根也是這個字，代表「比例數」，即有理數。

28 指赫拉克利特斯。

29 logos 的字源是 loges ，就是「說」的意思，和中文「道」的意思也相同，算是巧合？還是應該視為一種必然呢？

30 做一個給定的圓面積相等的正方形。

31 做一個與給定的立方體兩倍大的立方體。

32 三等分任意角。

33 安提豐：將圓內接正四邊形的邊數逐漸加倍，無限重複此一過程，可得到越來越逼近圓面積的正多邊形。於 是圓面積和正多邊形的差就逐漸窮竭了。

34 另外兩個是兩分法 ( 運動不存在，因為位移事物在達到目的地之前，必先抵達一半處；再 抵達一半處之前又必先抵達 1/4 ，依此類推，永遠不可能達到目的地 ) 與運動場 ( 空間和時間不能由不可分割的單元組成，假設不是如此，運動場上三隊排列 ABC ，令 C 往右移動， A 往左移動，其速度相對於 B 都是每瞬間移動一個點，如此， AC 就瞬間離開 C 兩個點的距離，因此必存在更小的時間單元 ) 。

35 現或稱亞力山大港。

36 現代人以為亞歷山大的勝利是依靠了馬其頓方陣，但對於亞歷山大的領袖才能和軍事頭腦，仍不能小看；從 這些神話裡可以看出，當時人是如何崇敬此人的偉大。

37 「希臘人雖然也是可欽敬的戰士，但他們並沒有征服過，因為他們的軍力主要地都消耗在彼此互相敵對上面。一 直要等到半野蠻的亞歷山大，才把希臘文化傳播到了整個的近東 ( 地中海東部沿岸 ) ，並使得希臘語成為埃及、敘利亞和小亞細亞內陸部分的文學語言。希臘人永遠也不會完成這種事業的，並 不是由於他們缺乏武力，而是由於他們不能在政治上團結。希臘文化的政治傳播者從來都不是希臘人；但正是希臘的天才激動了別的民族，才 使得別的民族傳播開了他們的被征服者的文化。」－－羅素，《西方哲學史》

38 讀者可以試想以中國的狀況。

39 李文林，《數學史教程》。

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系刊緣起

2006年9月，在當時數學系總助教劉珈銘以及電腦助理俞韋亘兩位學長的努力下，系刊此組織正式在數學系成立，也同時進行第一期的營運。由當時電腦助理俞韋亘學長以及數學系大四的學長楊久毅擔任總編。

在第一期的系刊中，我們邀請到不少已在業界工作的學長姊，舉凡數學界、財金界、教育界等等分享自身的心得以及數學系對他們的影響。同時我們也很榮幸的訪問國內第一位取得所有精算師執照的學長，現為精算學會理事長的石寶忠先生；以及現任系友會會長，資通電腦董事長余宏揚先生兩位優秀的學長，聽他們聊起自己努力的過程以及分享成功的經驗。本期系刊同時也介紹系上兩位優秀的教授；許世壁老師以及陳國璋老師，讓大家能對老師們的專長、領域有更多的了解。

2007年9月，第二期系刊開始營運。由當時數學系大四的學姊鄭韻如以及大二的同學官聲嚴擔任總編。

第二期系刊在優秀系友訪談部分我們邀請了任職荷蘭銀行首席計量財務金融師的林志宏學長接受訪問，分享了諸多數學在財務工程上的應用；同時也訪問了曾到普林斯頓大學留學，目前在國外參與許多研究計畫的張德健教授。本期系刊亦同時介紹系上兩位教授：李大中老師以及鄭志豪老師。本期系刊亦新增清華數學剪影此單元，以記錄、報導系上的各類活動等等。讓師生間、學長姐與學弟妹間彼此有更深入的了解。

2008年9月，第三期系刊開始營運，並且為了能讓各屆系友以及學弟妹們能看到之前幾期的系刊內容，正式成立數學系系刊電子版。由數學系大三的譚士浩同學擔任總編。

每個地方都該有屬於他們的圖騰，每個系所都該有他們自己的象徵。系刊成立的目的正是希望能結合大家對於系上的向心力，一同打造屬於自己系上的一個標誌、一同寫下只屬於自己系上的歷史；也同時希望這本刊物能夠幫助老師們了解學生、學生們也可以藉由這本刊物了解師長，以及學生間彼此更深入的認識對方，讓大家彼此間的情感更為緊密，一同傳承屬於我們的清華數學精神。

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公費留學特輯

訪談日期：2007/7/12
受訪者：02級 俞韋亘
訪談人：10級 譚士浩
記錄、整理：譚士浩

2006年年底，清華數學系02級 的兩位學長：劉珈銘、俞韋亘，通 過了教育部舉辦的公費留學考試測 驗。儘管簡章上載明只錄取一人， 但兩位學長皆以高分錄取，獲得獎 學金出國深造。本期系刊特別訪談 俞韋亘學長，希望能提供相關的資 訊與經驗給有志於出國深造的同學 們，也藉機鼓勵數學系的同學們。

最初的念頭

譚士浩（以下簡稱：譚）：首先代表數學系的同學們以及系刊訪談小組恭喜學長通過 公費留學的資格考，獲得出國深造的經費。這類的機會每年應該都有很多人想要爭 取，學長在眾多人之中脫穎而出，真的是數學系之光。可以請學長聊聊為什麼會有想 要出國的念頭？以及為什麼會想申請公費留學的獎學金呢？

俞韋亘（以下簡稱：俞）：謝謝。其實出國深造這個念頭大概始於國小、國中這段時 期。我還記得國中老師常對我們說：「有機會就多去國外看看、見識見識，這會讓你 們成長很多。」到了高中、大學階段，也不斷聽到教授建議學生：如果要專對自己喜 歡的領域多加琢磨，是該把握機會出外取經，看看別人是如何成長的，不要只侷限在 自己的圈子裡。因而自己更加確信出國的念頭。

其實出國的路途有許多不同的選擇，例如在國內讀完博士之後，接著到國外做博 士後研究；還有當交換學生，進修個一至兩年；或是直接在國外修讀碩士、博士班等 等。而我是想以學生的身分，花四五年的時間出國念博士，因為學生的身分單純，能 擁有一段彌足珍貴、專心向學的時光，相對來說會學習的機會會比較多。另一方面是 因為美國的整體環境、師資與臺灣不同，是該把握機會多接觸接觸，讓自己的視野及 實力能更開闊。

申請公費留考最簡單的原因莫過於想為家裡省一筆開銷，畢竟出國唸書的花費不 是筆小數目。之前在台北有聽過關於公費留學的講座說明，知道這個資訊後，想說試 試看。畢竟這是全國高手都會想嘗試的，而且名額很少，所以能不能考上公費留學， 我的得失心其實不是很重，沒有說一定要獲得公費留學不可。不過或許也是這種心 態，讓我在準備考試時沒有過於緊繃，也讓我在考試時表現出最好的一面。

譚：可以說明一下報名的一些相關事項嗎？例如報考公費留學的資格限制、報名要注 意的事項等等。

俞：資格限制是你必須具有中華民國的國籍、大學畢業、尚未獲得博士學位，而且不 曾獲得教育部其他類別的留學獎學金等等。報名每年大都在八月底到九月初，報名方 式有現場報名跟通訊報名這兩種方式。要繳交的文件不外乎就是報名表、身分證影印 本等資料，外語能力證明也是必須的。換句話說，你的外語檢定考試必須要達到標準 才能報名，依報考的國家繳交該國語言的能力測驗成績。報考美國，IBT的要求是61 分以上；留德留法，就繳交德文法文語言檢定測驗成績。報考的國別完全不會影響你 考上與否的競爭難度，公費留學是以學門來分門別類的，一個學門只有一個名額。假 設今年數學科有六個報考人選美國，四個報考人選英國，兩個報考人選德國，這樣總 共是十二個人報考數學科，最後就是錄取一個數學這個學門的公費生。選考的國別會 影響教育給的獎學金的多寡，但完全不影響錄取的難易度。

另外，男生可能會擔心兵役的問題，其實公費留學獎學金有給三年的期限，例如 我95年考上，可以98年再出國，所以兵役問題不會影響到應考資格。其他一些相關的 資訊大家可以上教育部的留學網站看歷年的簡章，或google一下公費留學的資訊，都 可以得到相關的詳細資料。這筆獎學金是國家提供資源讓你出國深造，它沒有設限你 一定要選擇哪些學校或領域。不過我建議各位在申請前一定要好好想清楚自己想深造 的領域、方向，甚至是想去的國家、學校，讓自己的目標比較明確，申請的過程上也 會比較順利些。

準備的歷程

譚：可以請學長分享一些公費留學測驗的考試內容嗎？評選方式是如何呢？

俞：公費留學測驗分成筆試跟面試。筆試大都在每年的十月中舉行，考四個科目：國 文、憲法與立國精神、以及申請該領域的兩科專業科目。在最開始申請時要先選擇要 申請的國別和想要深造的領域，之後才知道要考的領域專業科目。像數學領域的話就 是考微積分跟線性代數；國文跟憲法與立國精神的滿分都是100分；印象中國文的作文 佔40分、選擇題佔60分，而專業科目會加重計分20%。錄取的標準是考試委員會參照 這四科的總和訂定門檻，通過門才能參加第二階段的面試。

面試的總分是500分，數學物理化學分類在數理化學群。他們會邀請國內數物化科 系的教授及教育部的官員擔任面試的主考官。面試會問的問題大概就是詢問你出國的 動機、有哪些準備等等，也不乏會有英文的口試問題，主考官會希望你用英文詳細的 回答，像我當時就被要求用英文來說明自己的碩士論文的內容。筆試面試後，委員會 訂定一個標準，用『筆試成績×0.82+面試成績×0.18』來作為排名的依據，選出符合 標準的人。所以也有可能都沒人達到標準，導致沒有人錄取的情況發生。

譚：準備公費留考測驗想必不是很簡單，聽起來有點像我們高中時準備大學聯考一樣 的情景，應該也是要花不少時間跟精神。可以請學長分享一下準備公費留考的經驗 嗎？以及學長大概是怎麼準備的？

俞：呵呵，說像考聯考的話其實是言過其實，畢竟不是什麼非常大型的考試，印象中 每年大約會有三千人左右申請公費留學獎學金，最後錄取約七十多位，每個學門幾乎 都只錄取一位。以我們考的95年教育部公費留學為例，一共是74個學門，最後錄取了 76位。考數學這個學門的人不會超過20個，但會去報名的都是真的有志於出國，並且 有一定實力的人。台清交等數學系的好手，不小心就會在這個考試碰頭，這也是為什 麼剛才我說這個獎學金要考取機會並沒有很大的原因之一。

我準備的內容其實跟準備一般考試差不多，讀熟教科書、做考古題。當時我下載 了四、五年的考古題下來練習，熟悉考試題型，每一題考古題都認真地去完成它。國 文跟憲法這兩科的準備，我是買市面上準備高普考要考國文跟憲法的參考書去準備 的，這兩科其實我沒有準備得很完全，畢竟像憲法讀起來就很繁瑣。我會利用算數學 算累的休息時間讀讀國文啦，或是坐車時背背憲法啦等等。而因為專業科目會加重 20%，所以我比較關注在這上面，畢竟微積分、線性代數，大家考出來的分數應該是 差不多，關鍵就在於小心的程度。這些是我自己準備的經驗，分享給大家做參考。

譚：學長的大學好同學兼好室友，這次也同樣通過公費留考測驗的劉珈銘學長，你們 在通過第一階段筆試到共同通過口試這段期間，也分別在系上擔任電腦助理及總助 教，可以聊聊你們兩人一起努力，競爭同一個目標時的想法嗎？

俞：其實在第一階段筆試那天，我才發現共同競爭這個目標的熟人不只我跟Frank（劉珈銘）兩個。當天筆試我有看到我碩士班的同學、清大系上的學長、一起參加理 論中心暑研生計畫認識的台大同學的或別校同學等等，所以跟認識的人一起競爭本來 就在所難免。而且當初報名時，我們都很清楚，簡章上寫的錄取名單只有一個人。不 過我們之間都一直互相幫忙、彼此鼓勵對方。像因為我週末本來就會跑台北，所以就 順便幫Frank報名；Frank在網路上下載到考古題，就直接印兩份出來給我跟他，我們 做一做以後，再互相討論。

第一階段筆試放榜後，可以到第二階段口試的三個人當中，其中兩個人就是Frank 跟我，清華兩位上榜考生正好是筆試最高分的。我們都很高興，因為知道不管是他考 上或是我通過，數學領域的名額是清華數學系拿到的機會非常高，這是很值得大家高 興的一件事。第二階段口試結束後，等待的心情當然也是很緊張，不過Frank一直鼓 勵我，他常說：「我們都已經盡了全力，相信已經把我們最優秀的一面展現出來了， 所以搞不好兩個人都會一起上。」雖然簡章載明名額可流用至其他學門，所以如果有 學門不足額錄取或缺人，就可能會有某個學門變成錄取兩個人，但這機率通常很小。 最後，在公佈名單的那天，Frank在網路上看到我們兩個人的名字都在上面，馬上很 高興地跟我講。那天你也看到了，當下我們立刻起身擁抱、恭喜對方。這一路準備的 過程雖然辛苦，但我們都會替對方打氣、祝福對方，我覺得身為清華數學的一份子都 應該要有這樣的胸襟。

收穫的果實

譚：拿到公費留學獎學金聽起來很酷，好像國家會給非常多的資源供你在國外深造， 學長可不可以聊聊這筆獎學金大概有哪些內容呢？學費、生活費等等開銷夠用嗎？

俞：公費留學獎學金會有學費跟生活費，給的年限跟額度依國別而異。我記得去德 國、法國的獎學金有給到四年，而美國是給三年，也就是念到博士班第四年後，國家 就不會再提供你學費和生活費了。公費留學給的金額部分，學費是實報實銷，每年以 三萬美金為上限，但以美國的數學博士班而言，大部分一年學費會在三萬以內；生活 費則是視城市生活水平而定，最高是一年領兩萬美金。不過美國這邊的城市，一年的 生活費大概介於一萬七到兩萬之間，所以理論上公費留學提供的獎學金是夠用的。系 上的王偉成教授當初也是拿公費留學獎學金出國留學的，私底下我也有跟王老師聊 過，他說當初在紐約是一個月才領八百元美金，現在一個月大約有一千五百元美金， 已經算很不錯了。

譚：那其實領了國家的錢出國深造，也規定日後必須要回國義務服務。不知道這方面 的規定大概是什麼呢？

俞：關於義務方面，拿到博士學位、畢業後一定要返國服務，不能直接留在美國任 教。領三年錢，就得回國服務三年，政府才會解除束縛。不過博士班畢業後直接留在 美國做博士後研究的工作是許可的，時間限制是三年。在領獎學金期間如果放假回 國，停留在台灣的時間有不可超過90日的限制，畢竟在這段時間也同時在領國家提供 的生活費，國家會希望我們盡可能地利用時間在國外好好深造，以利之後返國服務。 而在返國服務的三年期間，出國也有不可超過60日的限制，因為國家也會擔心你其實 在國外有工作，只是偶爾回國一下。

感恩之心

譚：在最後，學長從當初考上清華數學系，一直到現在即將出國留學，這段時間想必 有不少師長對您的啟發很大，不知道有沒有什麼話想對他們說呢？以及有沒有什麼對 我們學弟妹的期許？

俞：真的，要感謝的人太多了。系上的師長如沈昭亮老師、賴恆隆老師、張樹城老 師、程守慶老師、王偉成老師，對我的照顧和給我的啟發都非常深遠。我從他們身上 獲得的學術指導、生活上的關心實在無法用言語去描繪，但我是真的很感激他們。我 也很感謝不少鼓勵過我的同學們，例如Frank還有同是02級的吳牧恩等等。當然還有 支持我的家人跟女朋友。我真的很感激大家。

對於系上的學弟妹，我期許大家好好努力。大學時代受到的訓練其實對將來，不 論就業或深造都有非常深遠的影響，所以大家要好好珍惜這四年的黃金時光。清華的 老師們給的課程訓練都很扎實，會讓大家在無形中培養深厚的功力，這點是其他學校 比較少有的資源，希望大家要好好把握。最後我很期待不只今年，甚至以後在公費留 考的數學領域錄取名單，都會有清華數學系系友的名字，讓清華數學系能夠發光發 熱，也不枉系上對我們的一番栽培了。#

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好書推薦：《野火集》

08級 林立

吃飯時，電視上播送著一個個天天上演的新聞：某議員爆料政府官員如何將納稅 人的錢送入自己口袋；立法院裡立委潑水互毆；國小老師將學生打得半聾；新蓋好的 博物館開始養蚊子；魚市出現黑心海參；十六歲高中生飆車砍人……我看著電視，跟 同學聊著陳冠希，將飯一口一口送進嘴裡。直到我讀到這本書——龍應台的《野火 集》，才打破了我對新聞的冷漠和習以為常。

第一篇文章〈中國人，你為什麼不生氣〉就大聲嘯出前人未有的怨氣。龍應台在 問：政府在做什麼？老師教了什麼？媒體報了什麼？溪水為什麼這麼髒？街道為什麼 這麼亂？雲門舞集為什麼沒有練舞的地方？最重要的是，生活在當中，眼睜睜看這些 事情發生的我們，為什麼不出聲？

對啊！眼睜睜看著電視的我，為什麼不出聲？

看看這一段：經過郊區，我聞到刺鼻的化學品燃燒的味道。走進海灘，看見了 工廠的廢料大股大股地流進海裡，把海水染成一種奇異的顏色。灣裡的小商人焚燒 電纜，使灣裡生出許多缺少腦子的嬰兒。我們的下一代—眼睛明亮、臉頰透紅的下 一代，將在化學廢料中學游泳，他們的血管裡將流著我們連名字都說不出來的毒 素—......你又為什麼不生氣呢?難道一定要等到你自己的手臂也溫柔地捧著一個無腦 嬰兒，你在無言地對天哭泣?......不要以為你是大學教授，所以做研究比較重要；不 要以為你是殺豬的，所以沒有人會聽你的話；也不要以為你是個學生，不夠資格管社 會的事。你今天不生氣，不站出來說話，明天你—還有我、還有你我的下一代，就要 成為沉默的犧牲者、受害人!如果你有種、有良心，你現在就去告訴你的公僕立法委 員、告訴衛生署、告訴環保署:你受夠了，你很生氣!你一定要很大聲地說。

這本書的內容包含很廣，卻直指創造文化的我們每一個人。映照著我們以為的美 好想像，龍應台漂亮流暢地寫出我們生活的樣子，像針一樣的批評卻是以邏輯的思考 深入問題核心，讓我們感到刺痛。

台灣崇洋嗎？在這樣文化的優缺點比較之下，我們是否能將自己的文化看得客觀 冷靜？來看看《野火集》中針對台灣與西方文化的評論：

在討論台灣種種社會問題時，常發現三種直覺的反應。其一是:「怎麼，老說咱們 不好，西方就沒這些問題嗎?」

我可不懂，台灣有的缺點，與西方有什麼關係?難道說，好，義大利也髒，所以台 灣髒得有道理?墨西哥的汙染也很嚴重，所以我們污染沒有關係?別的國家有相似的問 題，於是我們的問題就可以隨它?不管西方有沒有類似的問題，我們仍舊得正視自己的 缺陷，不是嗎?

第二種反應是:「你老說歐美文化進步，你崇洋!」這種說詞完全是感情用事。如 果有人說歐洲乾淨，那麼正常的反應應該是，第一問，歐洲乾淨是否事實?第二問， 「乾淨」是不是我們想要的東西?如果兩問答案都屬肯定，那麼第三問：我們如何效 法，做到「乾淨」？整個程序和崇洋不崇洋扯不上一丁點的關係。

第三種常出現的反應，尤其來自官方，是說「那是西方的，不合國情!」這「不 合國情」是個很重的大帽子，一方面罵人家崇洋、一方面罵人家不切實際，一方面也 擋住了改革的呼求。什麼建議或觀念，只要加上「西方」的標幟，就容易以「不合國 情」來打發掉。而事實上，凡是「西方」的，不一定就「不合國情」，「不合國情」 也不表示不能做。公德心不合國情吧?我們要不要公德心?近代民主是西方的，我們要 不要民主?守法似乎也不合國情，我們要不要守法?

這三種反應都很情緒化。我們應該關切的是歐美一些價值觀或行為值不值得我們 擷取。如果值得，那麼不管西方不西方，都應該見賢思齊，努力地去「崇洋」。如果 不值得，那麼不管西方不西方，我們都不要受誘惑。

現今言論自由已開放，常有政論節目上名人大聲批評政府，但卻鮮有人能像《野 火集》這樣理性且仔細地剖析問題，找出核心的原因，發現事情「應該」要有的樣 子。這大概也是《野火集》為何能在二十年前剛出書一個月內再版二十四次，至今仍 有再版的原因。

二十年前的野火，燒到我們新一代的年輕人。現在，社會是民主了，是自由了， 可是更多的問題挑戰著生活富裕、未經歷戰亂貧困及高壓統治的我們。龍應台問，繼 承著上一代人辛苦果實的我們，如何編織我們的未來呢？

看完這本書，我激動地了一封簡訊給借我這本書的同學：洪偉，我看《野火集》 熱血得要流淚了！

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鄭志豪教授專訪

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訪問時間：2007/10/31
採訪小組：08級 鄭韻如、10級 譚士浩、10級 廖軒毅、11級 賴品志、11級 吳家萱
整理：吳家萱

在得知鄭志豪教授願意接受系刊小組的專訪時，我們非常的雀躍。因為鄭志豪教授是我們數學系11級基礎數論的授課老師，雖然自己第一次踏上清華數學系館僅僅將近兩個月，對老師的事蹟已略有耳聞，再加上學長姐對老師的一致推薦與好評，更讓我對這次能有機會深入訪問鄭志豪教授倍感榮幸！

與數學的邂逅

老師說，他從小時候就很喜歡研究圖形與數字，並且深深樂在其中，國中三年級時，就立志長大後要當一位數學家。「我對於數學，是有真正的熱忱的」，老師很認真地對我們說道，接著他說：「國高中老師的鼓勵、學習成績得到的讚揚固然是相當重要的精神支柱，但最重要的還是在於解決問題之後所帶來的成就感，這種感覺幾乎是無可比擬的。」他還做了一個有趣的比喻：「數學世界跟武俠世界不是很相像嗎？有時一個千古難題，就被一個出道不久的毛頭小子給解決了！遠的如Galois解決了『五次方程無一般解』的問題，近的如Terence Tao證明了『存在任意長度由質數所組成的算數數列。』各大數學家各成門派，各種數學方法猶如各派的武功秘笈，互相交流、互相競爭，為的就是要破解數學難題。解決一個問題，當然就是做數學最大的樂趣。」

充滿『熱忱』的求學經歷

鄭志豪老師不到30歲就當上助理教授，我曾聽說，有不少的學生用「天才」來稱呼教授。也因此，很多學生對老師的求學過程感到十分地好奇。老師是馬來西亞人，就讀於當地的華文高中，畢業之後考取台灣的交通大學數學系，只花了三年時間就拿到學位，接著直接前往美國攻讀博士。27歲在State University of New York at Stony Brook拿到博士學位、回台灣之後，於清大國家理論中心擔任研究員，後來擔任助理教授一職。

聊到大學時光，老師說他其實大多數時間都花在讀書上，當然也有適當的參與課外活動調劑身心。像是當初在大學一年級時與清大數學系的小梅竹活動，老師代表交大數學在羽球項目贏得比賽。而對於大家最關心的求學過程，教授表示，由於國情不同，比起一般台灣留學生，可能他27歲拿到博士是快了一些，但依然有美國同學在跟他同齡時拿到學位。不過他強調，他不是天才，數學反應也不算快，中學時雖然在全校數學競賽拿過數次第一名，但代表學校參加三次全馬中學數學競賽卻沒有得過獎。他覺得他現在的所擁有的成就，主要是基於孜孜不倦的努力與對數學的熱忱！

清華之於教授

老師說，他很清楚自己最喜歡的就是數學，因此沒有考慮過要從事財經或是其他領域的工作。所以在拿到博士學位之後就來到清華數學，希望能擔任教職。「為什麼會選擇在清華任教呢？」我好奇地問。老師莞爾一笑，聲音宏亮的回答道：「清華，很好啊！就像你為什麼會選擇清華數學系一樣！」老師接著說：「清華是台灣研究環境最好的學校，沒有吵雜的人群，還有很多的樹、浪漫的湖、翠綠的後山步道這些優美的環境。再加上我是研究代數幾何的，我認為純理論的領域在清大數學發展得不錯，所以選擇來清華。」

談到對清華數學的期待，老師說他希望可以增加開課的種類。因為單從課表上來看實在無法明顯看出清華數學與其他學校數學系有任何的不同，無法充分突顯清大的優異師資。並且，系上學生最後成為數學家的比率並不多，他勉勵大家要再更努力，希望數量可以提升。

讀書、研究、打羽球

老師說，由於他的讀書速度慢，而且需要安靜的環境，所以常常會到圖書館念書，交大浩然圖書館五樓是他最喜歡去的地方。老師還說：「我現在有時候還會到 交大去緬懷一下當時讀書的日子呢！」

老師很熱愛羽球，打羽球對他而言是非常重要的休閒活動。因為羽球是馬來西亞的國球，小時候他就在泥地上打球，並且培養出興趣。但到了中學及大學時，因為課業壓力比較重，那段時間就比較少打羽球。而做研究跟讀書就很不一樣：讀書時要考試，有交作業的期限，這些都沒有辦法做太大的調整，而且因為老師對自己要求比較高，所以時間大都是處於不夠用的狀態；而做研究時間就比較彈性，如果白天精神狀況不好的話晚上再來也行。老師俏皮地說：「做研究有時想不出來，還不如出去活動活動，腦袋靈活了，思路反而開通。研究固然重要，但身體健康也是不能輕忽的，清交這兩校常常有教授工作到過勞死，若大家抽點時間打打羽毛球，這樣的事就不會發生啦！」接著又補充說道：「當然不只是羽毛球，其他運動也可以啦！要適當選擇自己喜歡的課外活動去參與。」

同時他也叮嚀我們：人的精力有限，人生目標也都不盡相同。課外活動跟讀書的比重要好好分配，哪個多一些，哪個少一些，就看自己對自己訂下的目標到底是什麼。一個星期運動一兩天應該算是合理，至於電動，就可以完全捨棄了。

對待數學的態度

「做數學要靠自己」，這點是老師相當強調的部分。因為老師是今年大一基礎數論的授課老師的緣故，他發覺不少同學在讀數學上有些瓶頸。所以藉此機會與大家分享他讀博士班的經歷，老師在他唸博士班時，指導教授Blaine Lawson給他很大的自由空間，論文題目及研究方向都是自己訂的。他通常兩個禮拜去找指導教授一次，教授會給他些建議、說些鼓勵的話，或對研究的的結論不滿意，要求他繼續研究改進等等。攻讀博士時，研究的內容已經是非常專業的領域，沒有什麼人可以討論。指導教授大都扮演輔助的角色，所以學數學一定要靠自己！

老師也說他常常會碰到問題，而他通常都是自己想辦法去解決的。如果思考了很久依舊沒有頭緒，就利用網路或圖書館查查相關資料，中學時最久是花了兩個星期解決一個問題。而做研究至今，最長有花三個月才解決一個問題，還有很多問題無法解決就留在腦海裡，有空就想一想。老師要大家不要害怕問題，要主動去面對它們，若是學習上有困難也可以盡量找助教或是老師討論。

國內外教育的差異性

當被問到國內外教育差異的問題時，老師一針見血的妙答，令在場的人都相視而笑。他是這麼說的：「國外的大學部因為比較基礎，學習內容大概都差不多。不過因為美國學費較貴，通常翹課的人數都很少，但我們系，明顯許多學生都不喜歡上課。通常愛翹課的學生成績都越差，成績越差的學生越愛翹課。」

老師十分嚴肅地告訴我們上課是非常重要的。尤其是大一的學生，在高中花好幾年學的東西，到大學可能老師花十分鐘就複習完了，接著就像把車開上高速公路，速度越來越快，如果缺了課，之後就越來越不知所云了。學習跟上老師的思路是很重要的，如此課後再複習也會省去很多時間。

至於更深入的高等教育方面，老師相當建議出國留學。他表示，雖然台灣也有好的數學家，尤其很多就在清華數學系，但台灣的數學水準和法國、美國、英國相比，還是差得遠了。老師還引述Abel的名言告訴我們：「要學好數學就應該向大師學習。」國外好的研究所，讀書風氣和國內好的研究所很不一樣，他們的學生都是來自世界各地頂尖的高手，有抱負、立志要做大事，所以學習氣氛相當濃厚。比如到普林斯頓高等研究院吃午餐，隔壁桌可能正坐著Deligne、Voevodsky和Macpherson三位Fields Medal得主，在這樣充滿相同志趣的人以及該領域大師的環境下做數學，當然很不一樣！

學習數學的方法

當我們問到怎麼讀好數學科目時，老師也是一再的重申：「任何數學科目要學得好，不二法門就是多做習題。做習題雖然花時間，但這是一個可以解決問題的能力訓練，若連習題都不願做，怎麼去做研究？」他建議上課前備課，而下課後整理筆記也是不可或缺的重要步驟；把老師上課講解的定理，課後再溫習一次，不明白的地方把它弄懂。課堂上因為時間有限，很多時候老師的證明會寫的較為簡略，或有些就是口頭上解釋，沒寫在黑板上。這時整理筆記最大的好處是讓自己想通trivial為什麼是trivial，另外也可以藉此機會練習寫寫定理證明。

深入研究方面，老師說：『數學是很大的一部分，我們不可能全部都學，畢竟那是幾百世紀累積的東西，我們應該往新東西去學習。』他認為數學是代代層累的結果，綿延數千年之後，現代數學已經極為複雜，分支分得很細，窮一生之力也許仍無法盡探其每個角落。所以如果想做研究，必須找到好的、重要的問題。通常這樣的問題無法用舊方法解決，所以應該去學一些新的知識和技術。舊方法行不通，當然要嘗試新方法。像Wiles證明出費馬最後定理，他可是用了許多數論和代數幾何上最新的方法。如果有人願意投注一輩子的精力用來研究平面幾何，但平面幾何對數學發展已沒什麼重要性，這將變得沒有太大的意義。

訪問的最後，老師分享了一段話：「有的人讓自己的夢想凋零枯萎，但有些人卻細心灌溉培育，即使在顚沛困頓的日子也不曾放棄，直到有一天撥雲見日，花開果結。後來，別人就把這些人叫成功者。」教授也特別期許，希望系羽今年的大數盃能夠拿到冠軍！

給對代數幾何有興趣的同學們的建議

因為代數幾何需要的數學背景知識比較多，所以學習代數幾何需要很大的毅力。老師給對代數幾何有興趣的同學們的建議是：基本上至少代數要懂得Galois theory，一些交換代數；再懂些代數拓撲，至少了解一些基礎的homotopy theory，最好能讀些複變函數論（因為許多重要的代數幾何問題，例如Hodge conjecture都是複數域上的問題）。這些課程可以跟代數幾何的基礎課程同時進行。代數拓撲可以由Munkres的Topology入門，複變函數論可以讀Conway的Function of one complex variable；代數幾何可以讀Shafarevich的Basic algebraic geometry。

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本系林文偉教授 榮獲國家講座

08級 洪偉、11級 許致榕

三年前便已獲得教育部學術獎的林文偉教授，於2007年再次得到教育部的肯定， 榮獲第11屆教育部國家講座的殊榮。國家講座是為了獎勵學術發展、提昇教學與研究 水準、促進大學發展的特色而設，由曾獲得教育部學術獎或在學術上或專業領域上有 傑出貢獻或有聲望者主持，每年核准數額以十個為限，堪稱台灣學術界最高榮譽。

老師自國中開始即對數學產生極大興趣，在他的大學分發志願卡上填的通通都 是數學系。他大學時就讀政治大學應用數學系，同時也在此遇見影響他日後發展甚 大的恩師－－陳永秋教授。在陳教授的啟蒙下，讓他對德國的學術、文化和生活十 分嚮往。於是，後來老師爭取到德國學術交流協會(DAAD)獎學金，在畢勒費大學 （University of Bielefeld）攻讀應用數學博士學位。雖然一開始在德國求學時遇到一 些語言上的障礙、以及日耳曼民族的排外情節等等挫折和壓力，老師說：「當你能力 很強，他們樂於與你為伍，但能力不怎麼樣時，他們是不會理你的，這是德國人的個 性。」即便如此，老師仍不放棄，咬緊牙根獨自一人在異鄉奮鬥。

老師覺得研究首重獨立自主、創造力和自我判斷的能力，他認為人的內在潛力是 無窮的，在德國的留學生活讓他體悟到獨立自主是讓潛力爆發出來的最佳研究精神。 老師表示：「如果只是像圖書館一樣，考試完全難不倒你，什麼東西都會，充其量你 只是一座圖書館罷了。但人與電腦不同，應該是需要創造力的。」。

當時，在研究上經常需要搜集相關的論文，這些論文可能只有一些是很重要的， 必須精讀，而對於不是那麼重要的論文，要懂得篩選、大略看過簡介即可，若每篇都 精讀，根本沒有時間好好做研究。因此懂得如何判斷論文重要性是非常重要的。而在 重要論文的精讀過程中，可以了解到國際所關注及尚待開發的問題，這提供了深入研 究的管道。

最後，老師感謝於求學中所有提攜他的老師。陳永秋教授告訴他許多關於德國 人、事、物的心得，也讓他堅持德國留學的夢想。目前在中央研究院的阮希石教授也 給予林教授許多數學知識的灌溉，對於林教授而言，他們是深刻影響他學術發軔的 播種者。而在德國畢勒費大學，林老師也遇見一位日後對他影響十分深遠的教授， Ludwig F.Elsner。他們相處了六年，Elsnser教授及師母不僅在學問上面幫助他許 多，同時也教導他正確的古典德語。林老師也特別感謝家人對他的寬容體貼，使他能 夠在學術上毫無後顧之憂，專心致力於研究。

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本系陳俊成教授 榮獲年輕金玉學者獎

08級 鄭韻如、11級 許致榕

陳俊成老師於去年十月獲得由建大文教基金會所辦的年輕金玉學者獎，該獎項資 格限制為任職一年內且年齡不超過40歲的年輕研究學者，主要目的在於獎勵國內 年輕學者，鼓勵優秀人才留在台灣。主辦單位指出，因台灣目前，鮮少有專對年 輕研究學者設置的獎項，希望藉由這個獎項的成立鼓勵年輕學者從事基礎科學研 究，提升台灣的國際學術競爭力。

畢業於哈佛大學的陳俊成老師，研究領域是代數幾何，特別是高維的代數幾 何。對於有奇異點上的代數空間，老師用代數上導出範疇的方法，而這次得獎論文也 是研究代數幾何，主要是探討在比較高維時一些代數幾何方面的事情。老師當初會選 擇研究代數幾何，是因為覺得代數幾何的結構比較豐富，有些代數的東西從代數的觀 點來看似乎沒有特別的用意，但從幾何上來看卻頗具新意，有些很抽象的東西，只要 運用一些幾何的觀點去看，就可以清楚明白箇中巧妙之處。

高維代數和系上大學部學的代數的不同點，簡單來說，大學部的代數是從群論開 始，那基本上高維代數用到的是比較寬廣的東西，多項式module到一些ideal，局部 上是這樣，但高微代數不完全是看全部，它看的是一個比較整體上的事情。局部上的 事基本上是代數，就空間而言有些性質是可以局部檢驗的，比如給一個集合，檢查它 是不是Open，你只要在每個點附近都知道他是不是Open的即可。但有些事情是沒辦 法用局部檢驗的，那種局部可檢驗的，很多時候就是會用代數方程式去看，比較麻煩 就需要一些比較整體的圖像，才會看得比較清楚。

老師表示，代數幾何對初學者來說會覺得比較難，因為很多純粹代數不是很容易 就能理解，像有些代數的敘述，會不曉得條件跟結果有什麼意思，可是如果應用在幾 何上，就可以看得一清二楚了。

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