高等微積分名著介紹

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98級 李信儀

高等微積分有幾本名著，清華和交大往往使用這五本作為教材：

• Mathematical Analysis, by T. M. Apostol
• Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin
• Elementary Classical Analysis, by Hoffman and Marsden
• A First Course in Real Analysis, by Protter and Morrey
• Advanced Calculus by Gerald B. Folland

我將簡單地談論這五本對我的影響以及分享個人經驗。由於我個人比較熟悉Apostol、Rudin及Folland的書，因此，我的內容會著重於這三本上。我衷心地希望我的經驗可以給學習高微者有些許的幫助。

由於Apostol的"Mathematical Analysis"是我的啟蒙，所以我個人極力推薦此書為教科書。這本書寫的最好的部分是點集拓樸與級數理論（含Power Series、Fourier Series）；然而在向量分析部分稍嫌不足。另外，Apostol還著有一本高微內容的書，裡頭倒是提及了向量分析幾個重要的定理，但讀起來很容易迷失方向。因此初學高微的人最好還是找一下其他的書補一補，例如Folland寫的"Advanced Calculus"就是一本於此著墨不少的好書。而Apostol所寫的多變數函數微分理論 (Ch 12, Ch 13)的地方也不如Rudin來得簡潔有力。最後，這本書陳述了有界變差函數，這對Riemann-Stieltjes積分的理解是一個好的引導。另外，我並不建議讀Apostol於第十章關於Lebesgue積分理論的部分，因為他呈現的方法會使初學者將來讀Royden或Zygmund的實變函數論書籍時遇到困擾。

Rudin所寫的"Principles of Mathematical Analysis"。我個人較偏向將Apostol的"Mathematical Analysis"與Rudin的"Principles of Mathematical Analysis"兩本一起學，可作為互補之用。Rudin寫的最好的是第七章（函數序列）和第九章（多變數部份）。例如：Apostol在函數序列裡提到Arzela定理，而Rudin沒有；Rudin有Arzela-Ascoli定理，但Apostol沒提；Rudin講了Cantor set的重要性質，Apostol卻放在習題。因此對講授者來說，如果並用這兩本書教學，學生將受益匪淺。另外，可以注意一下，Rudin在第五章講到羅比達法則時提到：當分母趨近無窮時，可以不必擔憂其分子是否趨近於無窮，直接可以使用之。這正可以對照於離散型羅比達法則，即：O'Stolz定理（參見華羅庚之數學分析導引上冊）。此外Rudin的用字遣詞也是值得我們感受的藝術之作，有增一分太肥，減一分則太瘦之美感。

NOTE.如果能將以上兩本書的習題都做過一回，依我個人的體悟是相當有趣的。但在此提醒，這兩本書的習題都有錯誤的命題（見文末備註）。

Marsden和Hoffman所著的"Elementary Classical Analysis"，內容偏向應用，也盡量用淺顯易懂的方式表達：儘可能用畫圖來理解。與Apostol的著作較不同的地方是：Apostol幾乎羅列出分析學的基礎性定理，而Marsden卻將大部分的定理放在習題上。此外，這本書包含很雜，對初學者來說恐怕會迷失方向和重點。所以個人淺見不適合自修，除非有人帶領。

NOTE. 事實上，我並沒有看完"Elementary Classical Analysis"。所以這裡的看法難免會有其偏見。有件事倒是可以提一下，我曾寫信給Marsden求助於如何把高微學好，他也很熱心地提供我一些方法。

Protter和Morrey的"A First Course in Real Analysis"，是我第一本接觸的高等微積分。可能是因為學習過程不愉快，導致我一開始對它充滿敬畏。不過如果讀過Apostol與Rudin的書，它會變得簡單且有趣味性。這本書有個優點：會在其中發現不少Apostol與Rudin的著作的習題解答。例如：1872年時，Cantor 將不完備的空間加入適合的點來完備化。

而Folland寫的”Advanced Calculus”，就真的是有學問的人才寫得出來的一本書。作者是做方程的大人物，他不像Apostol、Rudin或Marsden等人著重於邏輯上嚴謹且細膩的結果；相反地，他著重於多變數世界的事情，交待了許多上述作者所沒交代的事，且教導讀者如何培養出直觀，並應用直觀來瞭解數學。這得擁有絕佳的數學品味方能寫得出來。此外，作者的遣詞優美、文句流暢。他花了半本書來談關於多變數世界的理論（含向量分析），這恐怕是做方程的人非常喜愛的一本書。

最後，我深切期望學習高微者可以將Apostol、Rudin的兩本名著的內涵清楚理解。很多直覺都是日積月累的努力方能窺得數學廟堂之美。就算兩大名著無法全盤接納，至少也要清楚一本，欠缺的將來再補齊。「努力與時間」是學習好數學的充分且必要條件。談到學習數學，在這裡有一句心得想跟大家分享：「當你覺得無力時，請你再努力！」

（備註）

Apostol 習題上目前發現的錯誤之處：
Ch 1. Ex. 1.4的hint其實是Ex. 1.3的hint，反了。
Ch 4. Ex. 4.45是錯的命題，雖然新版改成了$f(\mathbb{R}^n)$ ，但仍然是錯的。
Ch 5. Ex. 5.28的NOTE有誤。Ex. 5.37就證明來看，適合放在此處。
Ch 6. Ex. 6.10 (d)中的定義有誤。
Ch 8. Ex. 8.44的命題錯誤。在新版中已被Apostol修正過了。
Ch 15. Ex. 15.1此題三角形區域寫錯了。

Rudin 習題上目前發現的錯誤之處：Ch 7. Ex. 13 (b)是錯的。反例:$f_n(x)=\left(\frac{x}{1+|x|}\right)^{2n+1}$