2008年4月14日 星期一

源起

09級 徐維苑

有關系所評鑑… 系所評鑑的特色首重各系所的性質差異,強調根據各系所設立宗旨與目標,評鑑的 標準並不採固定量化指標,更。依據評鑑項目,由各系所自主舉證說明宗旨或目標達 成情形;評鑑內容以是否確保教學品質為主,兼顧研究品質為輔;強調自我改善機制 之建立與落實,根據項目自我比較,並非校際或各系所間之相互比較;最後,評鑑結 果處理採認可制,分為通過、待觀察、及未通過三種結果供教育部做決策依據。

2007年 系所評鑑颳起一陣風…

2007年,系所評鑑在各大學各系所再次展開,和往年稍有不同的是清大數學系的 幾位同學們,藉由這個契機,在評審委員面前發表了一連串他們從入學以來,觀察到 系上的現象和陋規,提出看法和建議。在寂靜無聲的水面上投下了石子,激起一波又 一波漣漪般的討論,尤其是07級和08級,紛紛表達他們對清華數學的關心和期許。這 個話題就成了種子,在同學們心中種下了「讓清華數學變得更好」的心願。

2007年四月,率先發聲的是08級的洪偉。偌大的教室裡,六位教授好整以暇地期 待著學生的表現,洪偉一隻手捏著自己完成的企劃書,另一手用來在已經投影的布幕 上比畫,他是緊張的,卻也同時給自己加油打氣。

「教授,我們需要一個更實用、跨領域的學程策略,因為學生是非常徬徨無助的。」

「教授,我們需要一個助教,是可以隨時在圖書館為我們解決問題的。」

「我們想要跟上潮流,更是需要文化!」

所有壓抑已久、自入學後的疑惑和建議隨著點燃的熱情,滔滔不絕地從洪偉口中 奔騰而出,溢滿原本空曠的房間。教授們都微笑著,表達禮貌性的尊重和肯定,除了 少許發問穿插其中,過程可算是相當平順。

話聲歇止,陳鞏教授起身向洪偉握手,表達希望由他來帶領後續的討論,他對 洪偉說:「系上有安排導師給你,你有去問過嗎?系上安排的系友演講,你有去聽 嗎?」當下洪偉答不上來,因為其實他從來沒有問過聽過,甚至思考過應該如何做。 「你不去問不去聽,那抱怨什麼呢?」老師嚴肅的說,「你不要覺得系上什麼都該為 你安排好,有時候,你得自己去找答案。」洪偉聽了感覺有點無辜又不知如何回答。 「以前我在清大數學的時候,同學們總是在一起分享經驗。現在網路資訊這麼發達, 你為什麼不自己去找答案?」老師注視著他說:「現在到底是怎麼了?」

系所評鑑雖然結束了,但同學們對數學系的看法和給予期許的心情並沒有隨之過 去,在數大招風的幾個版上皆引起一股討論風潮。

清華數學怎麼了?

統合眾多同學的聲音,可以歸納出最常被提及的問題有:系館的環境、系學會以 及課程規劃。

首先是,許多同學質疑,為何系館一樓遍尋不著垃圾桶?經常為了丟垃圾而苦 惱,也因此把所有垃圾帶去該樓層唯一有設置垃圾筒的洗手間,不論回收與否,一股 腦兒全部塞進洗手間那小垃圾桶裡;有人希望能有數學系專屬的交誼聽(有些系還有 每個人的置物櫃);有人抱怨數學系館一樓即便是晚上也是人來人往,尤其上演習課 的同學雖然不少,卻常因為系館一樓的門禁而必須繞道,徒添不少麻煩。還有數學系 館的空間利用,地下一樓的大教室長期虛置,偌大的空間用來上課或舉辦演講皆綽綽 有餘,卻靜靜地積灰塵養蚊子,也為許多同學所詬病。

再來是系學會的運作。很多同學表示,待在清華數學一段時間了,系學會的存在 感始終不高,彷彿入學時繳了系學會費後,就不常聽見系學會的所作所為了。那,系 學會到底做了哪些事呢?比如迎新茶會、耶誕晚會。系學會也舉辦所謂的華數盃,原 是希望藉此活絡各系級間情誼的體育賽事--但最後總是成了系隊間的比賽;每年的 大數盃、北數盃系會都有贊助車馬費及報名費。但除了這些,多數人其實並沒有更廣 泛地被系學會服務,甚至有同學說,如果我四年來沒參加系隊也剛好沒去耶誕晚會抽 獎,除了一件系服,根本什麼資源也沒用到,當初繳的系學會費做什麼用去了?其 實,在學生和教授的聯誼中,系學會應該扮演最重要的角色。系學會之所以存在感不 高,主因之一是因為沒有努力招生、不夠廣為人知,也因為沒把信任牌打起來,以至 於人手缺缺,活動難辦,因此陷入惡性循環,益發不得同學信賴。

系上的課程規劃也相當受到系上同學的關心和矚 目。清華數學的選課相當自由,甚至有些自由過了 頭,讓同學們在選課及方向規劃時無所適從。雖說入 學時每個人都是數學系,但在未來的生涯規劃裡面, 並非每位同學都將朝數學的領域發展,有部分同學希 望涉獵例如統計、資訊工程、金融財金或其他數學相 關應用的領域。大學教育之後,希望轉換跑道的同學 並非少數。但瞧瞧清華數學的課程規劃,並沒有幾個 同學能一望即知地說出,如果要轉向資訊方面,應該往什麼樣的課程去選擇,或者, 系上並沒有明確地指出,何謂學程。

雖然在系所評鑑時,陳鞏老師明確地指出是同學根本不懂得如何自己找資源,也 不曾嘗試尋找使用資源的方法。但聽及此話大多數的同學都大聲喊冤,他們說:從來 沒有人明確說明導師可以除了導聚外,在學習上也能給予學生指引;同學們甚至迷惑 貼在大廳佈告欄上的演講,究竟是辦給教授還是學生。資訊多又發達,但是那對系上 同學而言是知識爆炸。沒有電子報,系刊一年只發一次,網路上又一堆廣告,根本就 不知道哪些是應該要去哪些是不需要的。從入學到現在,從來沒有誰指示資源要怎麼 找怎麼用,難怪叫人無所適從。

於是,在系所評鑑後,洪偉寫了〈數學系怎麼了?〉和〈新藍圖〉兩篇文章,發 表在網路上,掀起了同學以及畢業系友們討論的浪潮。

起而行…

身為清華數學的一份子,每個人都希望清華數學能夠更好資源和環境,並教導系 上學生如何善用它。於是在潮潮聲浪中,有同學提議了一個可能可行的解決辦法: 讓目前存在的問題,採用認養的方式,嘗試去解決,雖然後來並沒有真正實行。事實 上,同學的努力是有一些成果的,現在系館一樓在靠電梯一側,已經有資源回收桶, 雖還未達到讓每個教室皆配有垃圾桶,但已逐步地改善中;系館的門禁較以往寬鬆, 讓晚上需要上演習課的同學,方便許多。至於許多同學所渴望擁有的交誼廳,目前也 已興建完畢。當初進了清華數學系,曾經選擇默默承受的同學們,在系所評鑑的討論 聲浪之後,並沒有因此放棄自己的權利,反而登高一呼、凝聚大家的力量,一起為清 華數學更美好的未來而努力;正因為相處久了,和數學系有了感情,所以希望清華數 學能越來越好!

系學會的種種討論,雖然個個犀利、直指人心,但同學其實是抱持著期待和鼓勵 的心情,說出自己的心聲。目前系學會會長是09級的王仁佑,當時在網路上看到學長 姐和同學們的討論,決定站出來競選系學會會長,並承諾要改革系會。

然而,想要讓數學系會變得更好、更符合同學們的需求和期待,光靠系學會的成 員孤軍奮戰是不夠的。期望系組織成員幹部不多的系學會把活動辦得又多又有趣,兼 具品質和聲勢,是否過於天真也過份理想化了?試想,每逢晚會、茶會,系會工作人 員盡他們有限的資源和能力,想辦法把活動辦得有聲有色、讓大家盡興而歸,但如果 大多數同學對於活動的參與度不高,這要如何讓這些辛苦的幹部們持續擁有熱情在繁 重課業之餘,花心力、花時間辦活動呢?畢竟系上的每一位同學都是一份力量,系學 會的進步,需要你我共襄盛舉,一起支持和努力的。

至於數學系的學程及數學應用領域方面的問題,雖然至今仍沒有細部的課程規 劃,但暫時大家可以利用網路資源,比如參考無名小站的選課板、詢問學長姐,都可 以得到寶貴的經驗和意見,不見得非得要被動地照著課程安排走。校內各科系間的選 課是隨同學自由安排的,大家可以多加運用學校目前可供利用的資源來彌補現階段系 上課程規劃的不足。


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統計研究所介紹

企畫小組
10級 許柏翰、官聲嚴、廖盈祥
10級 吳燕婷

因為系上同學畢業之後,選擇繼續攻讀統計研究所的比例不少,本期系刊特闢一個主題,介紹幾所台灣目前較知名及較受大家青睞的統計研究所。全文分為四個部分,望藉由三個不同的面向:企畫小組的觀點、學長們的經驗、教授的角度,盡可能呈現統計學和統計研究所的面貌,期許讓不認識它的同學建立些許概念,讓想多認識它的同學有更進一步的了解。

文章的第一部分,我們將簡單介紹「統計學」這門科學的概貌以及簡單說明其分類;接著我們將對台灣大學、清華大學、交通大學、中央大學這四所學校的統計研究所做簡略的分析。第二部份是系友們考取統計研究所的準備和應考心得(分別是07的謝宗震、08的宋治立和張語軒,感謝他們詳盡地對應考統計研究所分享經驗和給予建議,希望提供將來要應考的學弟妹們不同於坊間的獨門心法)。最後一部份,是我們走訪中央大學、交通大學與清華大學,訪問到傅傳德教授、洪惠念教授、還有鄭少為教授,談談他們對統計的看法、比較「數學」和「統計學」這兩門學科的異同、以及對於有志往統計學領域發展的同學們的建議。

在此,衷心期望在這短短十來頁的文章中能對讀者有所助益。

Part I:什麼是統計?

統計這門學科在日常生活中廣泛被應用,甚至在國中小的課程裡也有基本統計的課程,但大家真的了解統計是什麼嗎?它在日常生活中又扮演什麼角色呢?

Statistics(統計學)最早源於現代拉丁文的statisticum collegium(國會)及義大利文的statista(國民或政治家)。而稍後德文的Statistik,最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表對國家的資料進行分析的學問,也就是「研究國家的科學」。而其背後亦牽涉到許多數學的領域,比如機率。時至今日統計已不再僅是用在國家或政府的事務,更延伸到商業、自然、社會科學、醫療等甚至更多方面。隨著不同領域的結合,各自發展出不同的研究方法。

統計學是一門應用數學,雖然在發展時要以嚴密的理論基礎出發,但終究回歸現實。如果將統計學應用到科學、工業以及社會問題(比如:產品製程的改良、新藥的成效、股市的預測等)上。在不同的範疇上,就會有不同的母體,也就會產生不同的樣本空間,而什麼樣的樣本空間才能夠完整的呈現母體呢?簡單來說,大概是依照這樣的程序:首先,從這些樣本空間得到我們想要的數據--這就是統計幾個重要課題之一的「抽樣方法」所要探討的--蒐集到所需的數據之後,進一步對數據進行分析,這時,常常會為了簡化分析而將數據模型化(也就是將該組數據對應到已知的統計模型上。)藉由此一動作可以得知這個樣本空間有哪些特徵,再進一步抽取所要的資訊出來以分析母體,並由此結果判斷要如何達到目的。

隨著統計與不同領域的合作,在分析和抽樣的方法上逐漸產生一些歧異。統計學目前大約分成三個領域:工業統計、生物統計、財務統計。雖然不像數學一樣各個領域間有明顯的差異性,但三個領域間亦產生了不同點。

工業統計:

主要目標為藉由統計方法來生產「高品質、低成本」,具有競爭力的產品。因為蒐集數據的對象是工業產品,所以比較少有”missing data”(樣本在不可預料的情況下消失)的問題產生。也由於個體間的差異較小,以及可以控制的因子數目較多,所以在資料的蒐集上面可以有較多的方法可以取得,所以「實驗設計」在這塊領域有比較深入的討論。統計除了蒐集資料外還包含分析的部分,在工業統計裡所謂「可靠度分析」、「品質管制系統」就是針對製程和成品品質的改良所衍生出的學科。

生物統計:

與工業統計雖有許多類似之處,但由於研究對象從個體差異不大的無機物改成個體差異較為明顯的生物,所以在實驗進行時時常會有”missing data”及“sensor data”的產生,因此在分析時須小心此種資料是否會影響分析的結果。在臨床試驗的設計和分析是醫學上最為公眾所知的應用,比如新的藥品的效果。又如幾年前的SARS事件,民眾所接收的資訊其實大多就是流行病學或統計學的知識。

財務統計:

財務統計與前述兩個領域最大的不同點在於資料的特性和取得方式。由於財務統計所需的資料大多是已經有人整理好了數據,有些甚至不是真實存在的數據,比如股市指數、消費指數等等,所以在取得數據方面比較不需要費心,然而取得的數據大多是非獨立的,所以時間的影響對於財務統計來說具有相當程度的重要性,「時間序列分析」這門學科因應而生。財務統計的主要目標是要分析及預期整個市場的變化,藉此訓練養成專業的投資管理人才。

Part II:台灣主要的大學統計環境

台灣大學:

雖然目前沒有統計所,但若有志於統計這塊領域也是可以考慮台大數學所的統計組,方向大致上和統計研究所類似,不過在修課時可能會遇到實變數函數分析(real analysis)。此外,若對於生物統計有較濃厚興趣的同學亦可以考慮「台大公共衛生學院的流行病學研究所」的「生物醫學統計組」。

清華大學:

在清大統計研究所碩士班的學位修讀辦法裡有一條規定:碩士生入學後一年內,必須自下列學程中任選一學程(a)工業統計學程 (b)財經統計學程(c)生物統計學程。由此可知,清大會希望學生在對統計有初步認識後,能儘早投入有興趣的領域,期望學生能夠對該領域有較深入且真切的認知。此外,清大統研所裡醉心於工業統計這塊領域的教師,與其他學校相比是比較豐富的。

交通大學:

交大統計研究所的必修課程包含論文研討和專題討論,其餘基礎課程係由指導教授針對每位學生的個別情況來提出建議充實、補強所需之基礎訓練的形式。此外,藉由統計諮詢的課程可以協助學生熟悉統計方法和技巧在各界的應用。

中央大學:

除了一般常見的幾個領域外,中央統計研究所同時與中央財務金融研究所合作,共同設計了財務工程學程,是國內第一個跨系所合作之財務工程學程,對有志於財務工程相關領域的學生是一個不錯的選擇。

師資人數成立時間(西元)
專任兼任碩士班博士班
清華大學9未提供19881989
交通大學8未提供19921997
中央大學8619791987

Part III:統計研究所應考心得分享

07級 謝宗震

僥倖考上清華統研,這篇是紀錄我的準備心得跟歷程,可做為對統研所感興趣的同學一個參考。我分了幾個階段,大家可以將它視為一個評量,來檢視自己的準備成效。當你不知道要如何準備時,跟著補習班的進度走是最簡易且可行的。拿各校的榜單和補習班的名單比較,會知道補習班還真的是上榜的MLE。若說我是砸錢從補習班養出來的準研究生也不盡然,除了暑假去台北補郭胖(編按:郭明慶)的數統,其他都是自修。但還是得承認有補習的那科表現得最好,大概是單科前兩名。

本篇內容的重心會擺在機率論和統計學自己準備的步調。至於重點提示如注意Chebyshev's inequality、UMVUE等,這應該是考生自己要發現的地方,這方面資訊很多,寫起來跟抄書、抄目錄沒兩樣,所以不想著墨。另外,基礎數學部份,是我在未準備完全的情況下去考試的,僅僅是依靠在數學系剩下的能力去應試,談起來頗汗顏的,就省略吧。進入正文之前先列一下我在準備期間念過的書單:

  • 統計學和機率論
  • Introduction to Mathematical Statistics by Hogg:Chapter1~Chapter8
    統計學觀念與方法(管中閔,2e):Chapter2~Chapter13
    機率論 — 重點整理(郭明慶):全
    數理統計 — 重點整理(郭明慶):全
    Statistical Inference (Casella& Berger,2e):Chapter6~Chapter9
    非讀不可 — 統計學評論(趙民德):Chapter8~Chapter12

  • 微積分
  • Calculus(Salas,9e):Chapter 3、4、7、8
    An Introduction to Analysis (Wade,3e):Chapter6、7、13
    微積分精粹(張正、林郁):Chapter1~Chapter5 (後半段只看過一些)

  • 線性代數
  • Linear Algebra(Friedberg,4e):Chapter 3、5、6
    線性代數及其應用上(黃子嘉):全
    線性代數及其應用下(黃子嘉):Chapter7、8

若你在大三時就修完數學系的機率論、統計學了,一般來說,交大、中央統研所考試就可以應付了。若目標放在清、政、成、北大,因考題方向較偏應用,所以需要去選修外系的課,建議去修經濟系的統計學I和II,尤其在TEST ANOVA Regression等部份,自修是吃不消的。也就是說,考偏應用的統研所,補數統的效益不高。清大呢?抱歉,你必須全部都要會,不然是很難考上的。當然,光是修過學校的課,再多複習還是不足以應付考試,配合工具書來準備,是很值得推薦的一個方法。

就我而言,第一次複習是以修過課的課本為主。升大四的暑假,大約花三個禮拜把Hogg課文看完,而習題只有翻翻。接著念郭明慶的機率論、數統兩本工具書,一方面從頭念起,另一方面把日前在Hogg上讀到的重點或心得抄到工具書上,對我來說,這是提昇實力最重要的步驟,一邊抄寫一邊看工具書上的考古題。在暑假結束前,能把機率論念過80%,統計學60%就很不錯了。大約兩輪以後,原文書的必要性將會被工具書上的重點取代,爾後郭胖的機率、數統就不離身了。還有一點很多人都會發生的問題是,工具書寫得很簡陋。當然這也是要求自己把重點補上的原因,因為它真的寫得很簡便,有部份概念或題目真的會看不懂,要嘛就先跳過,不然就問強者同學、問批踢踢統計版、問Google吧。我大多是搞到自己想破頭還是不會的時候,就直接跳過,等下一輪再回來想。四上結束前,我的進度是:機率2輪、數統3.5輪、微積分0.5輪、線代0。事實上,這種進度是最低下限了,連這個都沒達到,就回火星吧。

寒假到二月底就是考古題時間,每間學校寫個四、五年就很足夠了。寫考古題的要訣就是年度的順序請由95、94年開始往前寫(我是96年度的考生),每間學校連寫個兩年考題,出題方向也會有個大概,不過一開始寫題目,應該是幾乎都不會寫,頂多也是有題目好像看過,卻想不起來怎麼做,沒關係,翻書吧。前幾份考古題寫個五小時是很正常的,請務必把全部題目都搞清楚。當你能夠縮短到三小時的時候,各校兩個年度的考題也該寫完了(我寫的是,清交央成)。考古題時間的第二階段:做93、92年的考古題,這是最重要的階段。要知道,統計所教師大約是8位,如果是輪流出題,週期大約是3年(不過成大似乎是例外,週期是2年,還蠻穩定的)。所以說該年(96)的考題跟93、92年相關程度理當是最高的,把它當作實戰吧。寫2.5小時期間盡量別翻書,這時的平均成績大概跟日後考試非常接近了。要提醒一點,如果這些考卷中,最高分還沒到70分過,是危險的,可能需要調整唸書方向或應試心態了。考古題時間的第三階段:餘下的考古題。請訓練自己在時限內完成作答。基本上,如果之前準備夠充分,應該有80%左右的題目都是能做的,剩下的是把能做的都做對。一般來說,會80%,寫對其中80%,64分也該能錄取了。所以考前的課題是在時限內完成作答以及作答穩定度的提昇。

最後要說的是,請多報考幾間學校當作模擬考。除熟悉考試感之外,從實戰中更容易發現自己不足之處,可以有機會補強。另外,就統計來說,考試次數越多,分數將會將會呈漸進遞增的狀態喔。

08級 張語軒

我蠻推薦徐南蓉老師開的數理統計,我跟宋治立大三上時都有去修,她教得很清楚,她的上課用書《Introduction to Probability and Mathematical Statistics 2nd edition/Bain and Engelhardt》我也很推薦。關於數理統計的原文書,很多人都推薦HOGG,但HOGG第六版比第五版多了很多內容,其實考試幾乎都用不到,所以我並不是很推薦大家去讀第六版HOGG。另外,再推薦一本統計的中文書《統計學/林惠玲 陳正倉》,分上下兩冊。

我想大家都會很猶豫要不要去補習,我自己有補機率和數統。但我覺得如果在修機率統計時還學得不錯的話,其實不太需要。因為補習真的會花很多時間跟金錢,而且老師講話並不是很清楚,像我上課時就是拼命抄,然後回家再慢慢看。所以我想如果你會督促自己念書而且在唸的時候沒有太多問題,去找補習班的用書跟筆記來看看其實就可以了。

08 級宋治立

很高興能與大家分享推甄的心得和經驗。推甄是大四上開始,我在大三暑假開始準備。統研所要準備的科目有:微積分、線代、統計、機率論。這段期間我上網找尋推薦的參考書,最後去書店買了ROSS的第七版機率和HOGG的第六版數統來念。不只原文書,也可以買幾本考試用書來參考,考試用書提供的考古題,有助於了解考試的方向和重點,讀起來比較有效率。至於基礎數學(微積分、線代),我買了一本裡面都是題目的參考書,不會的地方再翻翻之前的上課用書。

到了大四上,就開始準備推甄的東西,例如成績單、審查資料之類的。推甄有一些條件,像是在校成績很重要,所以若是想要推甄的人,成績還是不要掉得太差,不然口試時很容易就會被當成把柄。清大統研所的第二階段門檻是只要有一學期進全班前20%就可以,但交大統研所進第二階段的門檻就蠻高的,若總排名沒有前10,大概就進不到口試了,所以在校成績是很重要的。其他的審查資料,比如自傳、讀書計畫,可以請教學長姐,或是參考他們留下的資料。自傳大概就是把你的大學求學過程與喜歡統計的理由紀錄下來,若能寫得很豐富,會很有成就感的。但建議準備備審資料的時間不要太久,把時間拿來唸書可能比較實際一些。今年很幸運地推上三間研究所,我把這三間的考試內容與大家分享:

  • 台大數學所統計科學組:第一天筆試,下午會公佈第二天口試名單。
  • 筆試:考兩科,基礎數學與統計,並且同時發下兩張考卷,所以分配寫考卷時間就相當重要,建議先把會的先寫完。題目稍難,大都是證明題,有興趣的人可以在台大數學系網站上找到考古題。

    口試:三位口試老師,先是考生自我介紹,當時他們是跟我聊聊以後想做什麼之類的,也有同學是被問前一天考試寫錯的部分。

  • 交大統計所:只有口試,無筆試。
  • 口試:分成兩關,第一關三位老師,第二關兩位老師。

    第一關:考信賴區間的觀念,變數變換。
    第二關:考統計,給一個問題,問如何檢定。老師們都很好,如果你不會,他們會不斷地提示你,直到答出來為止。

  • 清大統計所:早上筆試,中午公佈口試名單,下午口試。
  • 筆試:考兩科,微積分和基本統計概念。題目是填充、是非、選擇,題目不會太艱深
    困難,但觀念要非常清楚。
    口試:自我介紹,看書面資料問一些問題。

有筆試的學校,若你筆試考得不錯,基本上口試不會太刁難你,但若只有口試,就要很小心了,此時平常的表達能力、統計觀念和在校成績,都是評分的重要標準。以上是我的研究所推甄心得,希望對大家有幫助。祝大家都能考上理想的研究所。

Part IV:教授小專訪

傅承德教授專訪

傅承德教授,大學時代曾醉心於代數所具有的數學之美,投身於代數幾何的領域中,現於中央大學統計研究所擔任講座教授。是什麼樣因緣讓他從代數幾何轉往統計,這個似乎與代數截然不同的領域呢?

當我們問到這個問題的時候,教授稍微思考了一下,回答說:「我大學念的是純數,幾何和代數都很好,所以當時到國外唸書時,本來也是想念純數。大三時,有位研究代數幾何的教授找我去念代數幾何。然後有位在University of Pennsylvania教書的日本教授,要帶我念代數幾何,但後來他轉去念Computer Science。之後我去服兵役,退伍後也沒有跟他們連絡。就這樣,我開始讀機率,讀完機率,然後慢慢地轉到統計的領域。」

傅承德教授的經驗其實並不算少見,目前統計相關系所大部分都是具有數學相關背景的人,此一現象會讓人覺得其實統計跟數學沒有差多少。然而統計和數學之間仍是有差異存在的,對於念純數的人而言,在某些意義下轉念統計是有些困難的。數學具有的優勢是強大的理論基礎,其所研究的主題也很少具有不確定性。但現實中少有不具模糊地帶的情況存在,而統計就是用數學去描述自然界或是社會界之中很多不確定性的東西。

對一般學數學人來說,統計比較難引起興趣,它通常不會像幾何、代數那樣有嚴謹、漂亮、簡潔的證明。但經過長時間與它相處後你會覺得,統計是個非常有力的工具,很簡單、但很有用。只是,統計並非表面所見的那麼簡單,人類對於不確定性要如何清楚敘述,是個很具挑戰性的工作。雖然統計在「概念」是困難的,但在操作上並非如此。假使有興趣的話,這會是一門極具挑戰性的學問。

統計方法大致上由以下三個主軸構成:如何取得數據,如何分析,以及如何從中獲取資訊。「蒐集」,就是如何去取得數據,通常有實驗設計以及取樣的問題。「分析」,簡言之就是對數據做一些特殊的處理,比如期望值、變異數、或是建構模型。我們由數據取得資訊,利用這些資訊就可以把不確定或不知道的東西估計出來。所以說,統計大概就是在做這些事情。不過,如之前所述,統計是個工具。所以統計有興趣的課題大多專注在那些數據本身,或者說數據的來源。因此,必須對其它領域(比如財務)有相當程度的了解,才能把統計做相關的應用。也就是說,在數據裡面獲得資訊之後,還是要回到該領域的觀點去解釋數據,以及其資訊所代表的意義。

一般而言,如果用學數學的方式來學統計,在蒐集、分析數據的能力培養上會相對地不利,但對模型的解讀倒是有一定程度的幫助。會有此一問題產生的大部分原因是在於傳統的數學訓練過度的強調邏輯,造成創造力相對的比較缺乏,這是數學系學生必須要面對的問題之一。因為統計要學的好之所以困難,不是因為學習使用的方法困難,而是培養統計的思考方式不容易,又這不是光只有在課堂上聽課就能夠學到的,需要投注時間去思考才會有所突破。

洪慧念教授專訪

「數學是一門藝術;統計是非常實用的工具」

洪慧念教授,現任教於交大統計研究所。在大學時期數學成績還算不錯,碩士班投身於代數領域,據他本人所說,他大學學得最不好的就是統計。是什麼力量使得洪教授轉而置身於統計的世界呢?

洪老師這麼說:「簡單來講,你們現在是『學數學』;畢業後要『用數學』。那數學用在哪裡?除了教書,還可以用在科學上,例如:財務、資訊、生物、工程。那數學怎麼用?這在剛從數學系畢業時,是很困難的。而統計,就是一種用數學的方法,是介於數學跟應用科學之間的媒介。它不像數學那麼講究理論的基礎,當然它有證明,只是沒那麼嚴謹,但這並不表示它是錯的。統計學家可以很嚴謹,但大部分的情形沒有必要去很嚴謹,大概對,就好了。這樣就可以迅速的應用在其它科學上面了。譬如在處理大數據時,如果你要電腦算一個十維或兩百維這種高維度的積分,其實光是十維,電腦就跑不出來了。而統計呢?它可以在短時間內,給你一個接近真值的答案,犧牲一些精確度來換取時間。所以統計大概就是這樣的一個工具。當然,統計背後也有數學的基礎,所以,用數學可以幫助你在統計上發展出很多處理資料的方法。然後再用這些方法,應用在其它應用科學上。這就是從數學,踏出去外面。

「數學應該是一門藝術;證明漂不漂亮,看起來就是不一樣。數學家喜歡看漂亮的證明,這是藝術啊,所以就要看你有沒有這個藝術天分,對不對?統計是訓練一種精神,一種對數的直覺。那統計的精神是甚麼?它告訴你如何去看data,所謂data一定有noise,一定會有誤差。統計的精神就在於如何去看待這些誤差,如何去把這些誤差弄掉,如何在不規則的一群數中找出其中的數學規則。統計所的訓練是精神上的訓練,可以說是訓練你腦子的靈活度以及對資料的直覺,讓你能夠正確解讀數據,不會亂用模型,不會用錯統計方法。

「有個故事叫瞎子摸象,這故事大家都知道。就是你摸到哪裡就是哪裡。統計也是一樣,統計就是教你如何對data從一種正確的角度去切入觀看。一組data,可以由很多不同的角度去看,統計的訓練就是讓你知道,從哪個方向看才是對的。

「譬如有人想研究甄試的時候男女是否平等。他去蒐集數據,發現社會組裡面,女生錄取率比男生高;自然組裡面,女生錄取率也比男生高。但今天有另一個人不這麼看,他把數據綜合起來看,發現男生的錄取率比女生高。這些data都是真的,沒有偽造。那怎樣看才是對的?這例子只是想說明,同樣一組data,我們用不同的角度看,可能會有不同的結論。而統計的精神,就是教你,『怎麼看才是對的』。」

洪老師認為統計這種東西,念一次不懂沒有關係,再多念一次說不定就懂了,那只是一個關卡,過了,就好了。老師對數學系的同學的建議是:從實變數函數論的「測度論」去切入統計,會比較好上手,還有,在學統計的時候,就用數學系的方法,從定義開始,把每一個統計名詞的意義(字面上的意義,而不是數學上的定義)多做思考。譬如標準差,它不像Laplace是一個人名、是為了紀念,這樣一個名詞的命名,一定有它的原因。因此你就要去想其中涵意是什麼?標準差照字面解釋似乎是「把所有數據跟平均的差再取一次平均」,但實際上計算方式卻不然。所以你也要去想,「為什麼要這樣定義?為什麼不那樣定義?這樣定義有什麼好處?」若這些東西都想通想懂了,那你的統計也就念得輕鬆愉快了!

鄭少為教授專訪

「統計─一門由數字中擷取資訊的藝術」

鄭少為教授是清華數學系89級的系友,Michigan大學的統計學博士,現於清大統計所服務,研究領域為工業統計以及實驗設計。

縱使都是數學,各領域間仍是隔行如隔山,遑論統計學與數學這兩門不同的學科。統計學與數學間的相異之處,相信同學或多或少都能感覺得到。接下來,讓我們試著把差異處說得清楚些。

人類用語言來描述這個世界,數學就是一種人類用來描述這個世界的語言。當然,統計也是。這兩種語言有什麼差別呢?相對而言,數學比較重視抽象架構;而統計,則還要關照現實層面的問題。但這並不代表統計背後沒有理論架構,統計背後是有一連串奠基於機率論上的精采理論和思路來處理數字裡的資訊。對統計學家而言,除了專注在統計理論架構的發展外,更需處理該理論架構與現實問題的接軌。統計學有理論架構層面,只是沒有數學那麼抽象;統計學也有應用層面,且不僅只是簡單的應用。簡言之,這是一門介於應用和理論之間的學科。

如果令數學家廢寢忘食的是數學的純粹之美;那究竟是甚麼東西,讓統計學家對統計學著迷呢?若我們有n組代表一個班級的同學的身高數據,想知道該班同學「大概」的高矮,有什麼可行的方法呢?我們可以對它取平均數;又,透過平均數,還可以跟其它班級做一個簡單的比較。但請注意,當我們把一個n維的數據降到一維的數字(平均數),我們得到了有興趣想了解的資訊(身高大概多高),卻也喪失了某些資訊(身高的分布)。譬如,我們不能光從一個班級的身高平均數,得知這個班級同學的身高分布,也不能知道這個班級到底是高個子多,還是矮個子多,而標準差卻能幫我們辦到這件事。又譬如有n組數據,其中有個數據很大,是其它數據的幾千倍,那這n組數據的平均數是否還是有代表性呢?

當我們利用各種n維到一維的轉換來對數據執行「擷取資訊」的動作時,我們也捨棄了某些資訊。「怎麼做」才能得到我們想要的資訊?這就是統計學很重要的一個課題了。也就是說,如果用「從數字中擷取資訊」的觀點來看統計,而不僅把它視為數學的一個分支,那統計將會展現它吸引人的風貌。

「嚴謹」是數學十分要求的重點。大家也許對「因為不夠嚴謹」而被扣分的經驗並不陌生。在這樣的訓練之下,數學系學生對邏輯演繹的嚴謹度要求就會比非數學系的人高很多,這不是壞事。然而在學習統計時,若僅專注於邏輯演繹證明,則有可能以管窺天,反而不易由大的視野來看到統計截取資訊的精彩之處。而這種「對嚴謹的堅持」,並不是那麼容易就可以修正。所以老師建議大家:多做數據分析—當你學過了一些統計方法,就直接拿現實生活裡的數據來練習。練習時要時時提醒自己「我現在要做的是擷取資訊」,時時問自己「我所用的方法,真的可以讓我得到我想要的資訊嗎?」這樣子,相信各位會有很大的進步。


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大學部課程相關用書之評論

匿名

數學是一門悠久歷史的學問,至今仍是一個蓬勃發展的學科,還是有許多待解的問題。學習一個科目,首重是選一本適合及符合需求的書來幫助自己學習,筆者所念也並不是很多,但對有心學習的學弟妹們,還是能列出一些有用的好書幫助學習。以下筆者將列舉一些書目,並就其優缺點做簡單扼要的描述。

線性代數:

筆者認為除了上課用書外,還可以參考:

  • Stephen H. Friedberg, “Linear Algebra”-
    這本常是數學系用書,編排相當流暢,唯Jordan form部份寫得稍嫌雜亂。
  • Hoffan, “Linear Algebra“
    恰好彌補上一本書的不足,Jordan form的部份可以這本書為主。這兩本書的習題都還算不錯。當然,線性代數這門學科只要好好的精讀一本就足夠了。筆者建議,在學習上可以先念(a),然後到Jordan form部份可考慮參考(b)。

高等微積分:

  • Marsden, “Elementary Classical Analysis”
    很適合初學者。其特色是,它的證明與定理是分開的,在學習上可以好好地先思考定理的意涵,再去想如何證明,也就可避免看完定理直接貿然去看證明的狀況。它的習題由淺到深,編排算相當有意思,唯一遺憾的是它沒有Stieltjes Integral。
  • Apostol, Mathematical Analysis
    這本書包含很多分析的學問,一般來說,一年的時間是學不完的。其編排方式很像字典,如果需要用到定理但忘記的時候,翻閱它可以很快地找到。這本書所舉的例子感覺稍少,也沒有很細緻的解釋,但它的習題很值得思考,初學者也許稍覺吃力,但如果念過一遍之後再回頭看,會發現它很多證明都寫得相當好。
  • Rudin, “Principles Of Mathematical Analysis”
    這本書很適合學過一次高微後的複習用書,它的證明精簡漂亮。但習題稍難,有很多不是輕易就可以思考出來。適合再三品味,是值得推薦的一本好書。
  • W.R.Wade, “An Introduction To Analysis”
    這本最近常用來作為教科書。以自學來說,它比其他三本還容易入門。 每一章的習題跟該章內容的手法相關程度頗高,因此學習時較容易掌握、了解一個定理的證明脈落--在習題之中你就可以學以致用了。

代數:

  • John B. Fraleigh, “A first Course In Abstract Algebra”
    此書敘述地相當詳細,適合自學。每章習題之後的’True and False’很有趣,算是此書的特色之一。另外,此書的習題對自學者而言比較容易上手;缺點則是內容敘述有時會太過瑣碎,而且進階群論的說明似乎有點太少,讓人會有點失去耐心。
  • Artin, “Algebra”
    這本書的例子相當豐富,矩陣的相關計算也不少,書中還有提到基本代數書中少有的module,適合在學習的過程中做為輔助的參考書使用。
  • Herstein, “Algebra”
    此書對群論著墨不少,寫得也相當細緻,習題也許稍多,做起來也比較有挑戰性,但仍是適合初學者的一本好書,唯一可惜之處就是沒有Galois theory。

複變:

  • Conway, “Functions Of One Complex Variable”
    從power series來開始介紹複變,算是本非常標準的參考書,如果高微學得不錯的同學,這本書將會很容易上手。每章習題都與內容相關,只是有時稍嫌囉唆,但對於初學者此書很好用。
  • Marsden and Hoffman, “Basic Complex Analysis”
    這本書的習題有相當多的計算,且難度不是很高,加上例子不少,初學者可以考慮使用。證明雖然寫得長,但清楚好讀。
  • Ahlfors, “Complex Analysis: An Introduction To The Theory Of Analytic Functions Of One Complex Variable”
    這本書比較適合於對複變有相當興趣的同學,它的難度相對上比較高,需要硬功夫,基礎能力不夠會很吃力。是複變中難以取代的一本好書。

這篇文章固然希望能達到提供學習者學習上的參考,但筆者相信,對於數學如果能在各領域找到適合自己的一本書,唸得精熟,習題好好做,會比每本書都只碰一點來得好。因此挑好書,讀好書,這才是成功學習的首要條件。


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高等微積分名著介紹

98級 李信儀

高等微積分有幾本名著,清華和交大往往使用這五本作為教材:

  • Mathematical Analysis, by T. M. Apostol
  • Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin
  • Elementary Classical Analysis, by Hoffman and Marsden
  • A First Course in Real Analysis, by Protter and Morrey
  • Advanced Calculus by Gerald B. Folland
我將簡單地談論這五本對我的影響以及分享個人經驗。由於我個人比較熟悉Apostol、Rudin及Folland的書,因此,我的內容會著重於這三本上。我衷心地希望我的經驗可以給學習高微者有些許的幫助。

由於Apostol的"Mathematical Analysis"是我的啟蒙,所以我個人極力推薦此書為教科書。這本書寫的最好的部分是點集拓樸與級數理論(含Power Series、Fourier Series);然而在向量分析部分稍嫌不足。另外,Apostol還著有一本高微內容的書,裡頭倒是提及了向量分析幾個重要的定理,但讀起來很容易迷失方向。因此初學高微的人最好還是找一下其他的書補一補,例如Folland寫的"Advanced Calculus"就是一本於此著墨不少的好書。而Apostol所寫的多變數函數微分理論 (Ch 12, Ch 13)的地方也不如Rudin來得簡潔有力。最後,這本書陳述了有界變差函數,這對Riemann-Stieltjes積分的理解是一個好的引導。另外,我並不建議讀Apostol於第十章關於Lebesgue積分理論的部分,因為他呈現的方法會使初學者將來讀Royden或Zygmund的實變函數論書籍時遇到困擾。

Rudin所寫的"Principles of Mathematical Analysis"。我個人較偏向將Apostol的"Mathematical Analysis"與Rudin的"Principles of Mathematical Analysis"兩本一起學,可作為互補之用。Rudin寫的最好的是第七章(函數序列)和第九章(多變數部份)。例如:Apostol在函數序列裡提到Arzela定理,而Rudin沒有;Rudin有Arzela-Ascoli定理,但Apostol沒提;Rudin講了Cantor set的重要性質,Apostol卻放在習題。因此對講授者來說,如果並用這兩本書教學,學生將受益匪淺。另外,可以注意一下,Rudin在第五章講到羅比達法則時提到:當分母趨近無窮時,可以不必擔憂其分子是否趨近於無窮,直接可以使用之。這正可以對照於離散型羅比達法則,即:O'Stolz定理(參見華羅庚之數學分析導引上冊)。此外Rudin的用字遣詞也是值得我們感受的藝術之作,有增一分太肥,減一分則太瘦之美感。

NOTE.如果能將以上兩本書的習題都做過一回,依我個人的體悟是相當有趣的。但在此提醒,這兩本書的習題都有錯誤的命題(見文末備註)。

Marsden和Hoffman所著的"Elementary Classical Analysis",內容偏向應用,也盡量用淺顯易懂的方式表達:儘可能用畫圖來理解。與Apostol的著作較不同的地方是:Apostol幾乎羅列出分析學的基礎性定理,而Marsden卻將大部分的定理放在習題上。此外,這本書包含很雜,對初學者來說恐怕會迷失方向和重點。所以個人淺見不適合自修,除非有人帶領。

NOTE. 事實上,我並沒有看完"Elementary Classical Analysis"。所以這裡的看法難免會有其偏見。有件事倒是可以提一下,我曾寫信給Marsden求助於如何把高微學好,他也很熱心地提供我一些方法。

Protter和Morrey的"A First Course in Real Analysis",是我第一本接觸的高等微積分。可能是因為學習過程不愉快,導致我一開始對它充滿敬畏。不過如果讀過Apostol與Rudin的書,它會變得簡單且有趣味性。這本書有個優點:會在其中發現不少Apostol與Rudin的著作的習題解答。例如:1872年時,Cantor 將不完備的空間加入適合的點來完備化。

而Folland寫的”Advanced Calculus”,就真的是有學問的人才寫得出來的一本書。作者是做方程的大人物,他不像Apostol、Rudin或Marsden等人著重於邏輯上嚴謹且細膩的結果;相反地,他著重於多變數世界的事情,交待了許多上述作者所沒交代的事,且教導讀者如何培養出直觀,並應用直觀來瞭解數學。這得擁有絕佳的數學品味方能寫得出來。此外,作者的遣詞優美、文句流暢。他花了半本書來談關於多變數世界的理論(含向量分析),這恐怕是做方程的人非常喜愛的一本書。

最後,我深切期望學習高微者可以將Apostol、Rudin的兩本名著的內涵清楚理解。很多直覺都是日積月累的努力方能窺得數學廟堂之美。就算兩大名著無法全盤接納,至少也要清楚一本,欠缺的將來再補齊。「努力與時間」是學習好數學的充分且必要條件。談到學習數學,在這裡有一句心得想跟大家分享:「當你覺得無力時,請你再努力!」

(備註)

Apostol 習題上目前發現的錯誤之處:
Ch 1. Ex. 1.4的hint其實是Ex. 1.3的hint,反了。
Ch 4. Ex. 4.45是錯的命題,雖然新版改成了$f(\mathbb{R}^n)$ ,但仍然是錯的。
Ch 5. Ex. 5.28的NOTE有誤。Ex. 5.37就證明來看,適合放在此處。
Ch 6. Ex. 6.10 (d)中的定義有誤。
Ch 8. Ex. 8.44的命題錯誤。在新版中已被Apostol修正過了。
Ch 15. Ex. 15.1此題三角形區域寫錯了。

Rudin 習題上目前發現的錯誤之處:Ch 7. Ex. 13 (b)是錯的。反例:$f_n(x)=\left(\frac{x}{1+|x|}\right)^{2n+1}$


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線性代數書評

博士班 蔣俊岳

關於線性代數的書主要分為兩類:一類是標準教科書,適合自修考試用;另一類是研究用書;這一類還可以再細分為兩類:一類是基礎方面,以矩陣分析為主,另一類是應用方面,就是應用線性代數或矩陣計算。有關於這幾類的聖經相信大家都聽過很多,我這邊僅列舉一些我聽過看過的,希望不要誤了大家。

首先,先談談我對線性代數的看法。因為本人的代數只停留在大學階段,可能無法對整個線性代數的「硬體結構」做一個很透徹的看法。就我的認知,線性代數就是探討一個線性算子在一個有限維度的向量空間上的行為(當然需要定義一些術語供我們使用:定義rank,可以知道這個算子的份量有多少,此處所謂的份量是指這個算子能有多少獨立的基底來張成它的值域;透過內積,就有了正交的代數意義,進而在這空間上可以分析算子的譜等等)。或許大家認為線性代數很容易,的確,它不需要分析的基礎,可以獨立於微積分完成學習。但線性代數的題目卻也不是說一眼就能知道答案的,譬如:若AB = A + B,證明AB = BA ; 若A, B ≧ 0,則B\sqrt{(I+AB)}\ge0 ,這些看起來容易,實際去解卻需要一些觀念才有辦法解釋清楚。底下列了一些我讀過的書目給大家參考:

標準教科書

  • Matrix Theory, by Fuzhen Zhang, Springer, 1999.
    顧名思義,這本書主要是以矩陣為主角來描述線性代數的理論。在這本書中有許多有趣的結果,在其他書是不容易找到的。你能想像Normal的等價條件高達30個嗎?我們都知道任意一個矩陣都有它唯一的Jordan form,你能真正構造出可逆矩陣P,使得P -1 AP = J嗎?諸如此類,這本書就是這麼暴力地將這些結果呈現在你面前,而且我發覺它有許多習題是清大研究所考試題庫,譬如證明Hilbert matrix(\frac{1}{i+j-1} )是正定矩陣等等,你會發覺,原來有這麼多有趣的結果。(p.s.此書清大館藏為失蹤,所以要到交大去借才有)
  • Linear Algebra, by Friedberg, Insel and Spence 4th, Prentice Hall, 2003.
    這本書相信數學系的同學都有聽過,可能在修線性代數的時候也是用它作為標準教科書。全書以算子為著眼點,清楚地將整個線性代數的重點:向量空間、線性算子與其表示法、內積空間、對角化以及標準型、行列式,將這五大類做一個透徹的整理。這本書在Jordanform有很完整的證明,完全用算子不變子空間,就很清楚得到一個線性算子在有限維的向量空間有唯一的Jordan form。你可以比較這本書跟(a)不同之處:它跟(a)恰可互補。譬如你要證明rank (A + B) ≦ rank(A) + rank(B),用算子的定義可以很清楚地理解,但如果是用矩陣的定義就不是那麼明顯了;最小多項式的根如果都是單根,那算子(或矩陣)就可以對角化,如果你知道根的冪次代表它對應不變子空間上Jordan最大的階數(用矩陣來想),那這個結論就會很明顯,諸如此類。總之這本書涵蓋了絕大部份線代的內容,且習題具代表性,不失為初學或自修者一本好書。
  • Linear Algebra, by Hoffman, Kenneth, 2e, Englewood Cliffs, 1971.
    這也是一本聖經級的線性代數用書,感覺蠻偏代數的,我沒有念多少,只是看它的rational form跟cyclic decomposition,念代數的人應該會對這本很有感覺吧。

研究用書

接下來的書在其領域都蠻top的,我也沒能力著墨太多,僅把它們列出來供大家參考:

  • 矩陣分析方面:
    • The Theory of Matrices Vol. I, II, by Gantmacher Chelsea, 1959.
    • Matrix Analysis, by Horn and Johnson, Cambridge, 1985.
    • Topics in Matrix Analysis, by Horn and Johnson, Cambridge, 2nd 1991.
    • The theory of matrices with applications, by Peter Lancaster, MironTismenetsky, Academic Press, 2nd 1990.
  • 應用線性代數(矩陣計算):
    • Applied Numerical Linear Algebra by James W. Demmel, SIAM Publications, 1996
    • Matrix Computations by Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Johns Hopkins, 3rd 1996
    • Numerical Linear Algebra by L. N. Trefethen and D. Bau, SIAM Publications, 1997

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2008年4月12日 星期六

本系陳國璋教授 榮獲國科會96年度傑出研究獎

11級 許致榕

本系的陳國璋教授,於去年榮獲「國科會96年度傑出研究獎」--該獎設立之目 的在於獎勵研究成果傑出的科技人才長期從事學術研究,提升學術研究水準及國際學 術地位,獲獎人數限定為每年35人,終生只能獲獎一次,對學術研究者而言,是極高 的肯定與榮耀。陳教授的主要研究的是動態系統與天體力學。

陳老師在美國明尼蘇達大學取得博士學位後,曾在美國西北大學和亞歷桑那大學 的數學系擔任講師和助理教授。在國外念書時,老師和他的指導教授一起研究天體力 學,而當時的天體力學也有不錯的進展,這吸引了老師接觸天體力學,並研究迄今。 天體力學剛發展時,曾有過用變分方法做天體力學研究的新想法。早期這方法被認為 不適用於該領域研究。直到1999年,有人用變分方法做出一個有趣結果,引起了學 者的注意,不過當初是利用數值方法來證明的,就數學上來看,並不是很完美。同一 年,陳老師的指導教授參加一場天體力學的會議,當中有討論就是關於這個理論是否 有一個好的證明。後來,指導教授建議老師可以對前人做出的一個結果做更深入的研 究,於是老師真的完成了該結果的解析證明,前後共花了三個星期,之後,他的研究 成果也慢慢地在天體力學領域裡傳播開來。

聽到自己獲得了國科會傑出研究獎,陳老師表示自己很開心,這是對他的 研究工作的肯定。他表示,自己的論文能得獎,大概是因為論文被 ”Annals of Mathematics”這類很好的期刊接受,因為通常只要論文被好的期刊接受,獲獎幾 乎都是隨之而來的。從 2007年截至目前為止,陳老師除了獲得「國科會傑出研究獎 外」,也同時榮獲「 2007年中研院年輕學者研究著作獎」、「第 10屆新進人員研究 獎」和「2007年吳大猷先生紀念獎」等獎項。


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2008年4月2日 星期三

05級許庭豪榮獲「中華民國數學會優良論文獎」

10級 譚士浩

05級學長許庭豪榮獲「2008年中華民國數學會優良 論文獎之碩士論文獎」。本獎項旨在表揚與鼓勵國內研 究所畢業學生。由獎勵委員會先邀請國內數學研究人員 推薦人選,被推薦者之論文經審查後遴選出碩博士得獎 者各1至3名頒發獎狀及獎金。許學長獲獎論文主題為 「n個物種競爭單一有限資源」--考慮n種不同種類 的微生物在池子裡生存,競爭一個營養源;假設這些物 種密度的消長滿足某給定的微分方程組,且其中某物種 對營養的需求較其餘物種低,證明其餘物種隨著時間增加會趨近於滅絕。

這是由研究生物數學的指導教授許世壁老師提供的題目,題目中所給定的方程組 可有多種版本,這些方程組是做模型建構的數學家根據生物學家的實驗數據造出來 的。學長針對一個懸宕20年,頗有意思的方程組去做研究。在將近一年的研究過程 裡,與老師討論遇到的瓶頸,並參考前人的方法,寫程式做數值模擬等等。即使許多 時間過去卻沒任何具體研究成果、面臨論文繳交截止時間一天天逼近的壓力,他仍堅 持研究下去。終於在截止日不久前,他從某個觀察數據變化的特例得到一般性的規 則。在這個突破之後,搭上一些典型的方法,得到了部份結果。學長表示:「這部份 結果讓我得以順利完成碩士論文,這篇論文在中華民國數學會的優良論文獎也榮幸獲 獎了。而後幾個月我仍繼續思考這個題目,甚至在畢業後等入伍的這段時間待在學校 努力嘗試。終於在七月間,偶然拼湊出一個結果,進而完整證出這個題目。」得知獲 獎後,他特別感謝許世壁老師在這段期間的指導和鼓勵,而完整的證明投稿至SIAM 期刊獲得接受亦使他感到榮幸。

學長提到,做研究時面對的往往都是答案未知的問題,瓶頸和挫折是家常便飯。 他抒發壓力的方式,一是去踢足球,藉由奔跑、射門、運球來紓解內心的壓力;二是 讀一些數學書籍,藉由廣泛閱讀可以循著前人開闢好的道路去前進,儘管過程辛苦但 目標明確。「有書讀是種幸福,希望學弟妹能珍惜現在單純讀書的時光。」學長說。

在學習數學方面的心得,他說:「其實我是在高三的時候開始愛上數學。 因為高 一和高二碰到的數學問題大多是一種題型一種技巧,而高三碰到的卻成了綜合性的題 目,此時就要善用所學的工具,經過多方思考後才能解決眼前的問題。我才發現原來 數學是這麼有趣,因此決定往數學的道路邁進。」學長最後也鼓勵系上學弟妹:「讀 書、做任何事情都要找到自己喜歡的方向,要追求夢想也得先有夢想,希望學弟妹們 好好努力。如同足球比賽往往有不少得分是發生在傷停補時階段,所以在學習階段不 要輕易放棄。堅持到最後,你就會享受到努力的成果。」


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