2009年1月3日星期六

數學史速寫(一)...文本轉換中...

08級 洪偉

序篇——為什麼要寫數學史?

數學史關心的問題是「數學究竟是如何發展的」。從算數、量地板開始,直 到畢達哥拉斯開始以數衡量整個世界、牛頓以數學預測物理,數學逐漸普遍被人們認為是科學之母。

數學是一門累積性很強的學科,於科學發展史中,常常強調 典範轉移 1 的概念:牛頓挑戰亞里斯多德、愛因斯坦質疑牛頓。但在數學中,雖曾有過三次被稱作 數學危機 的狀況,但未曾有過所謂革命的場景,那些危機,則化為對內在的充實和基礎的鞏固。史 坦梅茲說 2 :「數學是最精確的科學, […] 之所以如此,是因為數學不試圖得出絕對的結論。所有的數學真理都是相對的,有條件的。」數 學的典範只有一個,就是理性自己。

數學史是一門 文化史 。所有的數學,都是來自人為的創造,因此才會有西瓦定理、牛頓法之說,而非上帝定理、耶和華法。但 對許多人來說,數學依然有它的神秘色彩,有人認為數學是唯一的真理,即使不是,但至少是最接近真理的科學,這個神祕是來自 形上學 的。

無論如何,數學始終以最接近基礎的科學自居,而讓一切科學家和他們的大樓建立在一個穩固的地基之上,就 是數學家的工作。

它到今天的一切,都像是被逐漸堆高的大廈。我們就像是身在最高層的貴族,使用最先進的數學。而 造就了今天數學的龐大的,是它同樣龐大的過去。

所有學科都是許多人的努力共同建立出來。而數學家,更象徵了他們身處的時代中最純粹的理性。他 們的一切理想,是自然科學中最閃耀的光環,最高貴的女王 3 。數學是人類思想中的燈塔,它標示著人類精神對真理的誓死追求。人們不斷在其中對自己提出問題,試 圖解決問題,而絕不輕易妥協。它隨著哲學、社會、科學與文化而生,依循著它們,卻將自己抽離到一個所有現實都無法觸及的高度。

因為篇幅有限,我只能概括的介紹,並不能做太多的演繹,對定理也無法為各位一一證明。我 將著眼於整個數學大發展方向與它的精神,與那些重要的數學家。所謂的重要,無關於他的工作成就,而是看他對後世的影響或是歷史上的意義而言。

「將任何學科和它的歷史割裂開來,我確信,沒有哪一種科目比數學的損失更大。」--格 雷舍4

一、數的創造——遠古數學時代

最早的數的創造約是在西元前兩、三千年的事。那時文字已經發明,而文字就帶著數字也傳了下來,還 有那些後來我們稱之為數學的成就。

每一個數學的起源,都代表了一種數的 表示方式 進位法 計算法則 應用範疇 、以及 因應應用方式所產生的數學 。數學在世界各地就如此分頭進行各自的發展,也隨著資訊傳遞方式的發達互相影響著。

在這裡,因為要從 希臘 開始,我只從 埃及 美索不達米亞 來談數學的起源。

埃及

埃及數字的進位法是十進位,而對埃及人來說,最主要的計算方法是加法。我 們之所以能夠對古埃及數學有所了解,主要是依據了兩部紙草書--《 萊因德紙草書 》與《 莫斯科紙草書 》。在這兩部紙草書中,我們看到埃及人是如何以 加法程序 來討論所有的數學問題。

1:莫斯科紙草書(Moscow Papyrus)

減法並不是問題,就是加法的倒轉。乘法是逐次加倍的程序,例如 51 乘上 17 ,就是先將 51 加倍成為 102 ,再加倍成為 204 ,再加倍成 408 ,再加倍成 816 ,這樣就是 51 16 倍,再加上 51 就是答案、 867 。而除法就是乘法的倒轉,即將除數逐次加倍來取代被除數。

我猜想這個狀況和古埃及數字的表示法有關。他們不知道位值 (place value) 制,所謂未值制就是視數字的所在位數,來決定數字的值,而是找了符號代替十、百、千、萬,然 後畫幾個該符號,就是代表該數的幾倍。

2:古埃及與古巴比倫的數字,出處:李文林,《數學史教程》。

古埃及並沒有小數點的概念,卻是以 分數 來處理「不足一的數」的問題,以一種令人無法恭維的繁複建立起的數系和運算方法:在文獻中,埃 及人在數字的頭上加上一個橢圓來表示原數字的 倒數 ,為一個 單位分數 。而利用某種單位分數表示法,再加上先前所討論的乘除法方法,古 埃及人就可以做分數的四則運算 5 了,儘管方法非常複雜。

而在《萊茵德紙草書》中,也有相當於 一元一次方程式 的問題,這也許是最早的代數問題,雖然古埃及的解法和現在的普遍解法並不同,而 是利用類次 試位法 (method of false position) 的方式進行解題。如今於程式設計中,仍常運用這種方法解決一元一次方程式問題。

幾何學 則是餽贈於那條氾濫成性的大河。

希羅多德在《 歷史 》中寫道:「假如河水沖毀了一個人所得的任何一部分土地,國王 Sesostris 就會派人去調查,並通過測量來確定損失地段的確切面積, […] 我以為,正是由於這類活動,埃及人首先懂得了幾何學,後來又把他傳給了希臘人。」在希臘語中,幾 何學寫作 γεωμετρία (geometria) geo 是地面的意思, metria 則是測量。

埃及的幾何學有許多令人驚艷的成就:除了 正方形 長方形 等腰梯型 ( 以將他拼湊為矩形的方法 ) 圓周率 。他們最偉大的成就是給出了 平截頭方錐 體積的精確公式:於莫斯科紙草書中: ,其中, 是高, 是底面正方形的邊長 ( 如圖 3) ,數學史家貝爾 (E. T. Bell) 稱此為最「偉大的埃及金字塔 ( 英文中的棱椎體與金字塔皆為 pyramid) 。」

3:平截頭方錐體圖示

但埃及數學的發展,自《莫斯科紙草書》與《萊茵德紙草書》之後就陷入了發展的困境,這兩部書內的數學,「 就像祖傳家寶一樣世代相傳,在數千年漫長的歲月中很少變化。」 6 賈德戴蒙則在《槍砲、病菌與鋼鐵》一書中寫道這是埃及文化產生的一種「古老帝國的僵化」;羅素也認為「 這一時期以後,埃及文明就變得越來越僵化了,並且宗教上的保守主義使得進步成為不可能。」

但埃及卻對當時的其它地區的文化帶來了深遠的影響,也許我可以這麼形容:埃及文化就如同 地下水源 ,所有挖掘的人都可以從中得到些什麼,但他自己卻如同靜止了一般。

希臘人就是所有去挖掘的人中最飢渴的一群。

美索不達米亞

此地為數學的另一個重要起源地,在成就上,他甚至超越了埃及。但這裡也許也像希臘一樣,受 了一些埃及影響,例如對於幾何、數字的想法等等,但這點我並不確定 7

美索不達米亞 ( 或稱巴比倫 ) 使用的是一種稱之為 楔形文字 的文字系統,並將文字刻在泥板上。他們使用 六十進位 的表述法:說是六十進位 8 ,精確來說,應該是「十、六十進位法」。因為從一至五十九的所有數,都是由一個十位數字 ( 一到五之間,或是沒有十位數字 ) 與一個個位數字 ( 一到九之間,或是沒有個位數字 ) 所組成。

巴比倫人對有理數的表述,是利用了類似 小數 的表達方式。在計算上,這就比埃及人的做法要精簡高明。但在這種表述法,卻產生了一種在 記錄上的問題 :例如: 53;5;29 就可以表示 ;不過同時,也可以表示 。又因為不管是埃及人或是巴比倫人,仍 然只能考慮大於零的數,也沒有對於「零」這個數下定義。他又同時可以表示 或是

不過我以為,對於一個年輕的文明而言,這種問題的產生是可以原諒的,就 像巴比倫人與埃及人同樣對於近似值與真確值混淆不清,而給出許多似是而非的公式,但 這也只是象徵著數學水平仍處在較低或是不夠成熟 ( 依現代的眼光檢視的話 ) 的狀態。

在讀數學史的過程中,對於這些錯誤,或是那些偉大的定理,我們應該以一種更加融入的方式去理解,而 非只要得到一些「是」或「非」的判斷,或是蔑視或者尊崇的態度,這對於讀數學史來說,這是毫無意義的。

我們應該有這樣的企圖心:當在讀到偉大的定理時,也間接瞭解那個時代背景的哲學,並 試圖因著那種思路前進;又或是,對於那些錯誤,思考原因是來自怎樣的錯誤思路或是錯覺,以進一步了解那個時代普遍的思考困境。

如此,才能說是對當代真正有所了解,這種了解不全然是數學的,而是歷史上的、哲學上的,並 試圖從歷史中得到一些關於現在的隱晦的答案,這是我們讀史的極重要目的。羅素曾這麼主張:「 當一個有智慧的人表現出來一種在我們看來顯然是荒謬的觀點的時候,我們不應該努力去證明這種觀點多少總是真的,而 是應該努力去理解它何以竟會看起來似乎是真的。」我認為這種態度,在我們讀數學史時,同樣是重要的。

巴比倫人試著逼近 ,而得到 1;24;51;10 ,相當於 1.414213 的近似值。他們的作法 ( 巴比倫開方法 ) 值得一提:「假設 ,並設 是首次近似;由方程 求出第二近似 ,再取 的算術平均數為 為下一近似。」如果上列程序無限進行,將無限逼近至 。巴比倫人已經發展出不少這種成熟的 程序化 計算方式。

在除法方面,他們不使用埃及的「倒加倍法」,而是將 視為 ,再由查表得到的值。

現有的 300 多塊數學泥板中,就有 200 多塊是「表」,包括 乘法表 倒數表 平方表 立方表 平方根表 立方根表 指數對數表 等等。利用這些用表和 線性內插法 ,巴比倫人可以做許多的數學估計,這作法我們在高中也是學過的。而在文獻中可見,巴 比倫人對這種作法顯得駕輕就熟。

在代數方面,巴比倫人已經可以處理如 一元二次方程 的問題,並給出類似 公式解 。也利用了代數變換的做法,解決了一些三次方程的問題。在幾何方面,巴比倫人掌握了三角形、梯形、矩 形等平面圖形的面積公式,也了解了棱柱、平截頭方錐等一些立體圖型的體積公式。甚至,他們首次利用 相似形 的概念來解題。而他們利用 來作為 的近似值,和埃及人也相差不遠。

到此,巴比倫數學和古埃及數學我們很快地瀏覽了一遍 9 。我們可以發現古時代的數學,雖然仍是以實用為主,但也多少帶有一些理論水平。

我想,這是數學的 自體催生現象 造成的:在探究某一問題的同時,我們可以發現某些 定律 ,而這些定律,又恰好可以利用在其他的問題上,或是創造了一些新的問題,周而復始。於是逐漸的,實 用數學就累積的相當可觀,累積到了某一程度,就會形成同樣程度的紊亂,必須進行整理與系統化,這是文明的必然進程。而整理數學的工作,幾 乎由希臘人做完了。

希臘

所謂「希臘」,在地理上包含了希臘半島、色雷斯地區、小亞細亞西部、義大利半島東南沿海、愛 琴海諸島這一塊地區;在文化上,這些使用希臘語的民族,都是希臘人,但在巴比倫、馬其頓統一諸城邦以前,希臘從來就不是一個統一的國家,而 是被城邦瓜分的一個破碎的土地。

4:古希臘地圖,但希臘其實仍包括義大利東南岸;出處:國立台灣大學網路教學課程第六講。

但希臘即使在被統一以前,就以 希臘人 自居,這是基於他們相同的語言和類似的文化;並且,希臘人除了自己的城邦必須針鋒相對,仍 須面對身旁強大的敵人,波斯。

希臘為於一塊先天條件不適於農業的地區,水源不足、農業不盛、物產不豐,因此貿易對希臘來說是極重要的。> 這些希臘商人往返於埃及、美索不達米亞兩大河谷之間,商人或是商船上的學者便帶回了那裡的數學知識,於 是希臘就有了比埃及與巴比倫都要加倍豐沛的數學材料。而希臘人的唯理主義和奴隸制以及商業盛行的環境正是發展純粹理論的溫床,讓 數學逐漸從 實用主義 的跑道上脫軌,正式進入 理論主義 的行列。

大家所公認的第一個希臘數學家是米利都 10 泰勒斯 (Thales of Miletus) ,他曾經預測了一次日全蝕 11 歐多漠思 (Eudemus of Rhodes ,公元前 320 ) 於《 幾何學史 》中這麼寫道:「 [ 泰勒斯 ] 首先來到埃及,然後將幾何研究引進希臘,他本人發現了許多命題,並 指導學生研究那些可以推出其他命題的基本原理」,並且還說,泰勒斯曾證明了下列四條定理:

  1. 圓的直徑將圓分為兩個相等的部分;

  2. 等腰三角形兩底角相等;

  3. 兩相交直線形成的對頂角相等;

  4. 如果一個三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應角、邊相等,那麼兩三角形全等。

而他早年經商發了大財,還用到現代所謂期貨投資的觀念 12 。但因為泰勒斯留下來的資料實在太少,我們對這個神祕有趣的人物知道的並不多。我 們還知道泰勒斯是希臘的一個哲學家,他認為萬物的本源是

希臘的數學,常常是因應哲學而生的。而哲學的目的即在於建立高度抽象而恆久不變的真理,影 響了數學對自己的進一步要求。事實上,數學許多時候並不是獨立發展的:埃及因建築、測量的需要而研究 幾何學 ;印度的數學是沿著 宗教 的腳步;中國因為建築、曆法、風水的需求建立 數術 ;近世則為了解決物理問題研究 極限 微分方程 問題。

總是依循著一定的脈絡:提出問題,思考解答,再經由我所謂自體催生的過程達到一定的稠密,再 由稠密而系統化。然後許多系統間彼此影響,提出更多的問題。人類的理想,就是將所有系統統一為唯一之終極系統。

這現象也許令上帝失笑,就像小孩努力地拼裝樂高積木。但這顯現出,人類對於美感的追求,也 展現在對真理的追求中。因此,德國數學家 伐爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 說:「一個沒有幾分詩人才能的數學家,決不可能成為一位完全的數學家。」



畢達哥拉斯與第一次數學危機

若要談到對後世數學的影響, 畢達哥拉斯 (Pythagoras of Samos) 要比泰勒斯重要得多了。畢達哥拉斯出身於薩摩斯島,曾遊歷埃及與巴比倫,回 希臘後定居於義大利東南部的克洛托內 (Crotone) ,並在這裡成立了所謂的 畢達哥拉斯學派 。畢達哥拉斯學派具有非常濃厚的宗教性質,因此有人直接稱說是 畢達哥拉斯教派

畢達哥拉斯的主要哲學理念是:「 萬物都是數 」,主張萬物皆能由數表示,雖然有些是非常奇怪的,例如他認為天鵝的形狀像是 2 。這想法,極可能是由於他發現了 音樂 與數學的相關性所造成的:他發覺弦的長度的比例 13 能使得音律 調和 14 ;另外,他們發現了 三角數 15 四角數 16 完全數 ( 包括 過剩數 不足數 ) 17 ;他們還發現了三維空間中的五種 正多面體 (也僅可能有這五種 ) ,他們稱之為 宇宙形 。就是這些成就,使得畢達哥拉斯學派將「神是以數的和諧創造世界」作為教義,但 也為畢達哥拉斯學派的自我毀滅作了一個伏筆,一切的問題,都從 畢氏定理 18 開始。畢氏定理是我們熟知的畢達哥拉斯的成就,即使他並沒有留下關於此定理的證明,但 人們顯然相信是畢式 ( 或是他的門生 ) 發現並證明了這個定理。

畢達哥拉斯是這樣認為的:所有量,都可以表示成兩個整數之比,在幾何上的意義相當於說,對 於兩個任意給定的線段長,都可以找到另一第三線段,其長度可以將兩直線以整數度量 ( 這兩條線段之長,希臘人稱為 可公度量 ) 。這在畢達哥拉斯的哲學中是非常重要的假設,但卻因 無理數 的證明 19 ,卻幾乎將他的所有哲學予以否定,包括數學中,他利用可公度量證明的那些幾何定理 20

因此畢達哥拉斯的門生 Hippasus 在洩漏「正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的」這一個 祕密 以後,即被視為異教徒謀殺或者放逐了。在柏拉圖的記載中,這些「怪物」 ( 無理數 ) 深深地困惑著古希臘的數學家。

畢達哥拉斯學派約活躍在公元前 550 年至 500 年,因為政治因素 21 的衝擊而解體,畢達哥拉斯本人也逃離克洛托內,不久被殺。但我們不可忽視畢達哥拉斯所帶來的巨大影響。

關於畢達哥拉斯學派的進一步描述,我將引用羅素於《西方哲學史》的一段話,很具代表性意義:

[Theory] 這個字原來是奧菲斯教派 22 的一個字,康福德 23 解釋為『熱情的動人的沉思』。他說,在這種狀態之中『觀察者與受苦難的上帝合而為一 24 』,在他的死亡中死去,又在他的新生中復活;對於畢達哥拉斯,這種『熱情的動人的沉思』乃是理智上的,而 結果是得出數學的知識。這樣,通過了畢達哥拉斯主義,『理論』就逐漸地獲得了它的近代意義;而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說,一 直保存著一種狂醉式的啟示的成份。 […] 彷彿 經驗的哲學家只是材料的奴隸,而純粹的數學家,正像音樂家一樣,才 是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。」

於是人們開始以數學認識世界,而實際地將數學自實用抽離至更高的抽象與普遍中,人 們開始試圖以更高的抽象 理論 來考察對象 ( 這對柏拉圖產生了重大的影響 ) 。羅素對畢達哥拉斯的影響力非常推崇,卻指責他「一部分是由於他的緣故,數 學對哲學的影響一直都是既深刻而不幸的」。

再次提醒讀者,我們不可輕忽畢達哥拉斯的影響力。數學作為形而上的科學指導原則,至今仍屹立不搖,康 德在純粹理性批判中,也將科學最尊貴的地位賦予數學。

他影響的不只是歐幾里得等數學家,而是象徵著讓數學神祕,而類乎教義的不可蔑視的真理性。或許,也 可以這麼說,為了追求這種真理性,畢達哥拉斯給了數學一種期許,就是讓自己成為恆久真理,而一切卻又必須根據理性。



雅典時期與兩大難題

波希戰爭以後,小小的希臘打敗了大大的波斯,領導者雅典就成為了希臘民主政治、經濟、文化的中心,此後,> 希臘數學學派林立:

伊利亞(Eles) 學派 :代表人物是 芝諾 (Zeno) ,此人也是個哲學家,他主張萬物的本源是土。但最重要的是在於此人的 四個無限性悖論 ,在後面將補述。

智者(Sophism) 學派 :代表人物是 Hippias Antiphon Bryson 等,均以雄辯著稱,後來稱「詭辯」則是因為他們的辯論原則並不遵守後來亞里斯多德提出的 形式邏輯 原則,但我認為不可這麼理解,應該是說,智者學派影響了亞里斯多德,遂而建立形式邏輯原則,才比較恰當。

雅典學派 :即 柏拉圖 學派,柏拉圖曾師從畢達哥拉斯學派的學者,約公元前 387 年在雅典創辦學院,教授數學與哲學。之後,著名數學家 歐多克斯 (Eudoxus) 率徒加入雅典學院。而此學院延續了有九百餘年之久,直到查士丁尼下令關閉所有的希臘學校。

呂圓學派 :即 亞里斯多德 學派,亞里斯多德是柏拉圖的學生,於公元前 335 年於雅典呂圓建立學派。學生中有一位就是寫《幾何學史》的 歐多漠斯 ,他還撰有算數與天文學的歷史。亞里斯多德學派除了教授哲學與數學,還教物理與其他科學。

柏拉圖和亞里斯多德在數學中很重要的貢獻,是將一些前人的成就和生平記錄了下來並加以詮釋、整理,後 人可以如此清楚地得知數學早期的發展,須大部份歸功於此。

亞里斯多德於數學中最偉大的創造是 邏輯學 25

在柏拉圖《理想國》中曾有如此的記載,可作為邏輯學的基本發想:「你們知道幾何、算數和有關科學的學生,> 在他們的各科分支裡,假定奇數、偶數、圖形以及三種類型的角 26 等等是已知的;這些是他們的假設,是大家認為他們以及所有人都知道的事,因 而認為是無需向自己或別人交代的;但他們是從這些事實出發的,並以前後一貫的方式往下推,直到得出結論。」

裡面所說「前後一貫的方式」,就是 邏輯 logic ,字源是希臘文的 logos logos 的概念並不只是在於抽象理論的推演,而是一種像是河流的過程,自上而下的流動,不可違逆 27 。有的古希臘哲學家 28 ,也將 logos 的範疇應用在實際的物質世界中,視之為永恆的活火。我粗淺的以為, logos 作中文最好的翻譯應該是 29 ,所以 logic 其實就是 道理 。但譯作「道理」便失去其學術內涵了。

這套亞里斯多德邏輯學被奉行兩千多年,直到十九世紀才被數理邏輯所取代。其中的語法定義與結構,也 影響了康德的思想,康德在《純粹理性批判》第二版的前言中,直接承認自己是以「建立類似亞里斯多德的那條可靠的道路」為目標。

亞里斯多德將 公設 (Postulate ,為某一門科學所接受的第一原則 ) 公理 (Common notion ,一切科學公有的真理 ) 區分開來,然後建立了 矛盾律 排中律 ,並系統化數學的推理規律。在歐幾里德的《原本》之中,將這種精神發揮得淋漓盡致。

這一時期,留下了兩個當時無法解答的重要問題:一、 三大幾何問題 ;二、 無限概念的悖論問題 。三大幾何問題一直迷惑人類到十九世紀,而無限問題要到柯西 嚴格化分析方法 才能說是完全解決。如果想到有的數學問題可以想上兩千年,那我們作業寫不出來也不會太著急了。

古希臘三大幾何問題是: 化圓為方 30 倍立方體 31 三等分角 32 。這些問題之所以難,是因為希臘人嚴格守幾何作圖工具原則:無刻度 直尺 圓規 。到了 1837 年,法國數學家汪澤爾 (P. L. Wantzel) 才在代數方程論基礎上證明了倍立方和三等分角問題都是無解的;而 1882 年德國數學家林德曼 (C. L. F. Lindemann) 則證明了 π 的超越性,因此也是不可能做的。

但是並不能論斷希臘人是白忙一場,在解決三大幾何問題的過程中,他們也因此獲得了其他關於幾何的新發現:> 安提豐在討論化圓為方時,發明了 窮竭法 33 ;希波克拉底討論倍立方體問題時提出的 雙重比例中項方程 ( ) ,導致了 圓錐曲線 的誕生;希比阿斯在試圖解決三等分角的時候,發明了「 割圓曲線 (quadratrix) ( 如圖 5)

5:割圓曲線。

伊利亞學派的芝諾,作為一位哲學家並不那麼重要,哲學書上介紹他的篇幅往往很小,但 在數學上他卻顯得非常重要。亞里斯多德在《物理學》中,記載了芝諾的四個悖論,其中最重要的是 34

一、 阿基里斯 (Achilles) :若烏龜的起跑點領先一段距離,阿基里斯必須先跑到烏龜的出發點,而這段時間裡,烏 龜又向前跑過一段距離了,依此程序無窮類推,阿基里斯永遠追不上烏龜。

二、 飛矢不動 :飛矢在每一個瞬時之間,都是沒有位移的,因此飛箭在每一個瞬間,都是靜止不動的。

在這我想請讀者以欣賞的角度來讀這兩個悖論:這兩個悖論在何種情形下可能是對的,如 果是以希臘人當年的知識水平,該如何面對這兩個悖論?別急著以後見之明將這一部分跳過,而是以作為沉思者的角度,讓自己無端陷入這樣的難題中。

這兩個悖論,就是第二次數學危機的代表,希臘人雖無法回答這些問題,但這可以視為對無限性的初次探索。對 微積分 的發展,則是一種前瞻性的奠基。

希臘數學黃金時代

公元前 338 年,馬其頓人統治了整個希臘地區,而一直到公元前 30 年,托勒密王國被羅馬消滅之前的這段時間,史稱 希臘數學黃金時代 。此一時代繼承了古希臘時期的維理主義,並在穩固的邏輯學基礎下,對於幾何、代 數問題做出許多重要的研究成果。這一時期的學術中心,自雅典轉移到了 亞歷山大城 35 ;該城是亞歷山大大帝征服埃及以後,在埃及北部建立的。

亞歷山大在希臘文中的意思是「人類的守護者」,他有著許多神話和傳奇 36 ,人們甚至相信亞歷山大三世為宙斯之子。但亞歷山大大帝逝世後,帝國瞬間他的手下被瓜分,沒 多久就瓦解了。在一場鬥爭之後,分成了三個 希臘化國家 ,其中定都於亞歷山大城的,是 托勒密王朝 。該王朝通常被認為是埃及的王朝,國王稱作法老。

但我先前已說過,希臘之所以偉大,並不在於疆域,而是因文化始偉大起來。同時,又 因為亞歷山大積極建立一個希臘化帝國 ( 記得他有個老師叫亞里斯多德 ) ,就將「希臘」傳出了希臘地區 37 。因此我們不妨稱托勒密王朝統治的是「希臘埃及 38 」。

托勒密王朝於公元前 300 年左右,開始興建規模宏偉的亞歷山大博物館、圖書館,提倡學術、羅致人才 39 。自此以後,亞歷山大城就成了希臘文化首府,學者雲集。在 這裡先後出現了三個標示著希臘數學顛峰的數學家: 歐幾里得 阿基米德 阿波羅尼奧斯

1 參考孔恩的《科學革命的架構》中,所提出之對於常態科學革命的想法。

2 德國物理學家 Charles Steinmetz

3 高斯:「數學是科學的女王,而數論是數學的女王。」

4 James Whitbread Glaisher ,英國數學家。

5 在《萊茵德紙草書》中,埃及人給出了一張表格,表示如何將所有其形為 2/k(k 為所有 5 101 的奇數 ) 的分數化為單位分數之和。例如,將 2/5 表示為 1/3 加上 1/15 ,等等,乃至最後一項將 2/101 表示為 1/101 1/202 1/303 1/606 之和。並搭配一種計算方式,使得可以把 7/29 這樣的分數也表示成單位分數之和: 7/29=1/6+1/24+1/58+1/87+1/232

6 李文林,《數學史教程》,北京高等教育出版社。

7 《槍砲、病菌與鋼鐵》將這類文化傳播的種類分為「意念 ( 學的是基本概念,再來研發細節 ) 」與「藍本 ( 照單全收,或略加修改後拿來應用 ) 」,因此即使數字的表述法全然不同,仍然有影響的可能。

8 有人說六十進位是因為因應計時而生,但我持反對意見,我認為是因最實際的實用而生,即是計數。因 為先有數實在之數,才會數類似時間的虛在之數,這乃是人的理性趨勢。

9 除了巴比倫的〈普林頓 322 〉泥板。

10 小亞細亞西部的愛奧尼亞地區的一個城市。

11 公元前 585 年的第一次日蝕。

12 亞里斯多德,《政治學》。

13 若為簡單整數比,則可產生合音,如 2:3 為五度和音、 3:4 為四度和音。

14 直到今天,調和中項、調和級數等名詞仍是受到畢氏之影響。

15 1,2,3… 之等差級數,因可排列為三角形,故稱之。

16 1,3,5… 之等差級數。依此類推,還有五角形數、六角形數等等。

17 其因數之和等於本身的數,稱之為完全數;大於本身,稱之為過剩數;小於本身,稱之為不足數。

18 或稱勾股定理,此定理於中國的《周髀算經》中曾提及,因此也有人稱之「商高定理」。

19 假設它的長度是 時。那麼 。如果m n 有一個公約數,我們可以把它消去,於是m n 必有一個是奇數。現在 ,所以m 是偶數;因此n 就是奇數。假設 ,那麼 ,因此 ,而因此n 便也是偶數,矛盾。--於歐幾里得《原本》中敘述。

20 見〈黃金時代-歐幾里得〉條。

21 畢達哥拉斯學派傾向貴族制,而後希臘民主力量高漲。

22 Orpheus ,他們相信靈魂的輪迴,以「淨化」作為人生活方式的主要目標。影響了後世的哲學形式,並 以精神沉醉代替肉體的沉醉。此種沉醉是繼承於希臘人對酒神巴庫斯的崇拜下的「激情狀態」的概念。

23 Cornford ,希臘哲學史家。

24 拉丁文的 theoria 的字源是希臘文的 θεωρία ,有沉思之意;而更早的 θεωρός 則是「觀察者」的意思,這個字是由 θέα( 視野 ) ράω( ) 拼湊演變而來。

25 他聲稱在他之前,沒有人認真研究過邏輯學,柏拉圖只透露已有人在之前研究過語法學。

26 直角、鈍角、銳角。

27 但也具有其他意思,例如 ratio 的字根也是這個字,代表「比例數」,即有理數。

28 指赫拉克利特斯。

29 logos 的字源是 loges ,就是「說」的意思,和中文「道」的意思也相同,算是巧合?還是應該視為一種必然呢?

30 做一個給定的圓面積相等的正方形。

31 做一個與給定的立方體兩倍大的立方體。

32 三等分任意角。

33 安提豐:將圓內接正四邊形的邊數逐漸加倍,無限重複此一過程,可得到越來越逼近圓面積的正多邊形。於 是圓面積和正多邊形的差就逐漸窮竭了。

34 另外兩個是兩分法 ( 運動不存在,因為位移事物在達到目的地之前,必先抵達一半處;再 抵達一半處之前又必先抵達 1/4 ,依此類推,永遠不可能達到目的地 ) 與運動場 ( 空間和時間不能由不可分割的單元組成,假設不是如此,運動場上三隊排列 ABC ,令 C 往右移動, A 往左移動,其速度相對於 B 都是每瞬間移動一個點,如此, AC 就瞬間離開 C 兩個點的距離,因此必存在更小的時間單元 )

35 現或稱亞力山大港。

36 現代人以為亞歷山大的勝利是依靠了馬其頓方陣,但對於亞歷山大的領袖才能和軍事頭腦,仍不能小看;從 這些神話裡可以看出,當時人是如何崇敬此人的偉大。

37 「希臘人雖然也是可欽敬的戰士,但他們並沒有征服過,因為他們的軍力主要地都消耗在彼此互相敵對上面。一 直要等到半野蠻的亞歷山大,才把希臘文化傳播到了整個的近東 ( 地中海東部沿岸 ) ,並使得希臘語成為埃及、敘利亞和小亞細亞內陸部分的文學語言。希臘人永遠也不會完成這種事業的,並 不是由於他們缺乏武力,而是由於他們不能在政治上團結。希臘文化的政治傳播者從來都不是希臘人;但正是希臘的天才激動了別的民族,才 使得別的民族傳播開了他們的被征服者的文化。」--羅素,《西方哲學史》

38 讀者可以試想以中國的狀況。

39 李文林,《數學史教程》。






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